Question

Площадь прямоугольной трапеции равна 18, а радиус вписанной в нее окружности равен 2. Найдите длину средней линии трапеции. А)9 Б)18 В)16 Г)8

Answer 1

Решение смотри в файле

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольной трапеции и вписанной окружности.

Пусть \( AB \) и \( CD \) — основания трапеции, \( h \) — высота, а \( M \) и \( N \) — середины боковых сторон \( AD \) и \( BC \) соответственно. Также обозначим \( r \) — радиус вписанной окружности.

Согласно свойствам прямоугольной трапеции, длина средней линии \( MN \) равна полусумме длин оснований:

\[ MN = \frac{1}{2}(AB + CD) \]

Также, радиус вписанной окружности связан с высотой трапеции следующим образом:

\[ r = \frac{h}{2} \]

Из условия задачи нам известна площадь трапеции:

\[ S = \frac{1}{2}(AB + CD) \cdot h = 18 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \frac{1}{2}(AB + CD) \cdot h = 18 \] \[ r = \frac{h}{2} = 2 \]

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ AB + CD = \frac{36}{h} \]

Теперь подставим второе уравнение:

\[ AB + CD = \frac{36}{r} \]

\[ AB + CD = \frac{36}{2} = 18 \]

Таким образом, \( AB + CD = 18 \). Теперь мы можем использовать это значение в первом уравнении:

\[ \frac{1}{2}(18) \cdot h = 18 \]

\[ 9h = 18 \]

\[ h = 2 \]

Теперь у нас есть высота трапеции \( h = 2 \) и длина средней линии:

\[ MN = \frac{1}{2}(AB + CD) = \frac{1}{2}(18) = 9 \]

Таким образом, правильный ответ — \( \text{А) } 9 \).