Question

Точки M, N и P лежат соответственно на сторонах AB, BC и CA треуголиника ABC, причем MN II AC, NP II AB. Найдите стороны четырехугольника АМНР, если АВ=10 см, АС=15 см, PN:MN=2:3

Answer 1

Четырехугольник AMNP - параллелограмм, поскольку его противоположные стороны попарно параллельны по условию. Пусть PN=2x, MN=3x (из условия, что PN:MN=2:3). Рассмотрим треугольники АВС и PNC. Они подобны по первому признаку подобия: два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого:
- угол С - общий;
- углы А и CPN равны как соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых АВ и PN секущей АС. 
Для подобных треугольников можно записать соотношение сходственных сторон:
PN : AB = PC : AC. Отсюда РС= PN*AC:AB.
РС=2х*15:10=3х, но и АР=3х также (противоположные стороны параллелограмма MN и АР равны). Тогда
АР+РС=15
3х+3х=15
х=2,5
АР=MN=3*2.5=7.5 см; AM=PN=2*2.5=5 см

Answer 2

Поскольку mn || ac и np || ab, то треугольники amn и acp подобны.

По условию pn:mn=2:3, можно сказать, что соотношение длины отрезка pn к длине отрезка mn равно 2:3.

Обозначим длины отрезков pn и mn как 2x и 3x соответственно.

Также обозначим длину отрезка mc как y.

Тогда отрезок am будет состоять из многих частей, его можно представить как: am = ac - mc = 15 - y см.

Таким образом, у нас есть следующие длины сторон четырехугольника АМНР: - АМ = am = 15 - y см, - MN = mn = 3x см, - NR = rn = mc = y см, - РА = ac = 15 см.

Так как треугольники amn и acp подобны, получаем следующее соотношение длин сторон:

am:ac = mn:cp

(15 - y):15 = 3x:10

Теперь найдем длину отрезка cp:

(15 - y)/15 = 3x/10

10(15 - y) = 15 * 3x

150 - 10y = 45x

2(30 - 5y) = 45x

30 - 5y = 22.5x

6 - y/2 = 4.5x

y/2 = 6 - 4.5x

y = 12 - 9x

Подставим найденное значение y в первое соотношение:

(15 - 12 + 9x)/15 = 3x/10

(3 + 9x)/15 = 3x/10

30(3 + 9x) = 15 * 3x

90 + 270x = 45x

90 = 45x - 270x

90 = -225x

x = -90/225

x = -2/5

Так как x - отношение pn к mn, то x должен быть положительным. Поэтому решение x = -2/5 не подходит для данной задачи.

Таким образом, решение невозможно из-за некорректных данных (x не может быть отрицательным).