Question

Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапе ция, основания которой равны 8 и 4. Через большее основание тра­пеции и середину противолежащего бокового ребра проведен плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 60°. Площадь сечения равна 48. Найдите объем призмы.

Answer 1

Дано:ABCDA₁B₁C₁D₁ прямая призма;ABCD_равнобедренная трапеция_
AB =CD , AD||BC , AD=8 ,BC =4 ,BM=MB₁ =BB₁/2= h/2.
Плоскость AMND ( N∈ CC₁ , CN=NC₁  * * * = CC₁/2=BB₁/2= h/2 * * * ).
В плоскости AMND проведем ME ⊥AD ( E ∈ [AD] ) и  E соединяем с вершиной B.  ∠MEB =α =60°. S(AMND) =48.
---
V=V(ABCDA₁B₁C₁D₁) -?

V= S(ABCD)*BB₁ .
---
S(ABCD)=(AD+BC)/2*BE =(AD+MN)/2 *ME/2 =S(AMND)/2 =24 .
* * *BE =ME/2 (катет против угла ∠EMB=30° в ΔEBM). * * *  
В общем случае:
S(ABCD)=(AD+BC)/2*BE=(AD+BC)/2*ME*cosα=S(AMND)*cosα . 
---
V= 24*BB₁  
Остается  определить высоту призмы BB₁.
S(AMND) =(AD +MN)/2 *ME ⇔48 =(8+4)/2 *ME  ⇒ ME =8.
Из ΔEBM :  BE =ME/2 , BM = ME*√3 /2 .
BB₁=2*BM =2ME*√3 /2 =ME*√3=8√3.

V= 24*BB₁  =24* 8√3 =192√3 .

ответ : 192√3 .