Question

Квадраты АВСД и АВС1Д1 лежат в плоскостях, угол между которыми равен 60 градусов.Найдите расстояние между их центрами если АВ=2а

Answer 1

Пусть Н - середина АВ.
Тогда РН - средняя линия треугольника АВС, РН║ВС, а значит РН⊥АВ,
и РН = ВС/2 = а.
МН - средняя линия треугольника АВС₁, МН║ВС₁, ⇒ МН⊥АВ, и
МН = ВС₁/2 = а.

∠МНР = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостями квадратов.
ΔМНР: РН = МН = а и ∠МНР = 60°, значит треугольник равносторонний, ⇒
МР = а.

Answer 2

Для решения этой задачи построим схематический рисунок.

Пусть ABCD - это квадрат АВСД, а A1B1C1D1 - это квадрат А1В1С1D1. Пусть O и O1 - центры этих квадратов соответственно. Также пусть AB = 2a.

Так как угол между плоскостями ABCD и A1B1C1D1 равен 60 градусов, то можно построить треугольник AOB, где А и B - вершины квадратов АВСД и А1В1С1D1 соответственно, а O - их центр. Также построим треугольник A1O1B1, где A1 и B1 - вершины квадратов АВСД и А1В1С1D1 соответственно, а O1 - их центр.

Треугольники AOB и A1O1B1 являются равносторонними, так как AB = 2a и угол между плоскостями ABCD и A1B1C1D1 равен 60 градусов. Это означает, что все стороны этих треугольников равны.

Расстояние между центрами квадратов

Так как треугольники AOB и A1O1B1 равносторонние, то расстояние между их центрами можно найти, используя формулу для вычисления расстояния между центрами равносторонних треугольников:

Расстояние между центрами = AB / √3

В данном случае AB = 2a, поэтому:

Расстояние между центрами = 2a / √3

Таким образом, расстояние между центрами квадратов ABCD и A1B1C1D1 равно 2a / √3.