Question

.Внутри окружности радиуса R расположены три окружности радиуса r , касающиеся друг друга внешним образом, каждая из которых касается большей окружности внутреннимобразом. Определите разность площади большей окружностии суммы площадей меньших окружностей.

Answer 1

я уже решал такую задачу, не могу вспомнить номер. Это очень просто. Мы считаем заданным R - радиус большой окружности, надо найти радиус малой окружности r. Если соединить центры малых окружностей, то получится равносторонний треугольник со стороной 2*r. А расстояние от центра большой окружности до центра малой будет R - r; для упомянутого треугольника это радиус описанной окружности.

По теореме синусов

2*(R - r)*sin(pi/3) = 2*r; r = R/(1 + 2/корень(3));

 

Дальше все просто - Искомая величина равна

pi*R^2*(1 - 3/(1 + 2/корень(3))^2) = pi*R^2*(корень(3) - 1/2)/(корень(3) + 7/4)

 

Answer 2

Дано:

- Радиус большой окружности: R - Радиус маленьких окружностей: r

Задача:

Найти разность площади большей окружности и суммы площадей меньших окружностей.

Решение:

Давайте рассмотрим данную конфигурацию окружностей:


Мы знаем, что каждая маленькая окружность касается большей окружности внутренним образом. Поэтому, если мы соединим центры всех окружностей, получим равносторонний треугольник со стороной, равной сумме радиусов большой и маленькой окружностей (R + r).

Согласно свойствам равностороннего треугольника, высота, опущенная из вершины на основание, будет равна (R + r) * sqrt(3) / 2.

Теперь, площадь большей окружности можно представить как сумму площади круга радиуса R и площади треугольника с основанием R + r и высотой (R + r) * sqrt(3) / 2.

Площадь меньшей окружности можно представить как площадь круга радиуса r.

Таким образом, разность площади большей окружности и суммы площадей меньших окружностей будет равна:

diff = (π * R^2) - (π * r^2 + π * (R + r)^2 * sqrt(3) / 4)

где π - это число Пи (приблизительное значение 3.14159).

После упрощения, можем получить окончательную формулу:

diff = π * (R^2 - r^2 - (R + r)^2 * sqrt(3) / 4)

Таким образом, разность площади большей окружности и суммы площадей меньших окружностей равна diff = π * (R^2 - r^2 - (R + r)^2 * sqrt(3) / 4).