Question

Решите уравнение sin(3П/2+2х)=cosx.найти все корни этого уравнения принадлежащее отрезке [П/2;2П]

Answer 1

Всё подробно написала в решении.

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом. Уравнение, которое нужно решить, это:

sin(3П/2 + 2х) = cosx.

Для начала, давайте приведем уравнение к виду, который будет легче решать. Мы знаем, что sin(3П/2 + 2х) = cos(П/2 - (3П/2 + 2х)).

Теперь у нас есть:

cos(П/2 - (3П/2 + 2х)) = cosx.

Так как cos(a) = cos(b) означает, что a и b отличаются на 2Пn или 2Пn + П, где n - любое целое число, мы можем записать:

П/2 - (3П/2 + 2х) = x + 2Пn или П/2 - (3П/2 + 2х) = -x + 2Пn + П.

Давайте решим первое уравнение:

П/2 - (3П/2 + 2х) = x + 2Пn.

Раскроем скобки:

П/2 - 3П/2 - 2х = x + 2Пn.

Упростим:

-П - 2х = 2x + 2Пn + П.

Перенесем все x на одну сторону уравнения:

-3x = 3П/2 + 2Пn + П.

Разделим обе части на -3:

x = (3П/2 + 2Пn + П) / -3.

Теперь рассмотрим второе уравнение:

П/2 - (3П/2 + 2х) = -x + 2Пn + П.

Раскроем скобки:

П/2 - 3П/2 - 2х = -x + 2Пn + П.

Упростим:

-П - 2х = -x + 2Пn + П.

Перенесем все x на одну сторону уравнения:

-х + x = П/2 - 3П/2 + 2Пn + П.

Упростим:

0 = -П - П + П/2 + 2Пn.

Сократим одинаковые слагаемые:

0 = -3П/2 + 2Пn + П/2.

Перенесем все слагаемые без x на одну сторону уравнения:

3П/2 - П/2 = 2Пn.

Упростим:

П = 2Пn.

Делая деление на П, получаем:

1 = 2n.

Таким образом, мы получаем одно решение для каждого целого числа n.

Теперь мы можем найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [П/2, 2П], подставляя значения n:

x = (3П/2 + 2Пn + П) / -3.

Например, при n = 0:

x = (3П/2 + 2П(0) + П) / -3 = П/2.

При n = 1:

x = (3П/2 + 2П(1) + П) / -3 = -П.

При n = -1:

x = (3П/2 + 2П(-1) + П) / -3 = -2П.

Таким образом, все корни уравнения sin(3П/2 + 2х) = cosx, принадлежащие отрезку [П/2, 2П], это x = П/2, x = -П и x = -2П.