Question

В окружности с центром О проведены деаметр АВ и хорда АС, равная радиусу. а) найдите углы треугольника АОС. б) Докажите, что треугольник АСВ прямоугольный.

Answer 1

Треугольник АОС равнобедренный(АС=АО;так какАО=ОС=R,то тр. равносторонний(все углы по60 градусов);В тр.АСВ СВ=2АС(т.е .угол АВС=30,значит уголВАС=180-30-60=90(т. е. АВС прямоугольный)

Answer 2

Да, конечно! Давайте рассмотрим задачу подробнее.

Пусть \(О\) - центр окружности, \(АВ\) - диаметр, \(АС\) - хорда, равная радиусу.

а) Найдем углы треугольника \(АОС\).

Треугольник \(АОС\) - прямоугольный треугольник, потому что угол, стоящий на полудиаметре, всегда прямой.

Таким образом, углы треугольника \(АОС\) - это углы при вершинах \(А\) и \(С\) плюс угол прямой.

Так как хорда \(АС\) равна радиусу, то треугольник \(АОС\) равнобедренный, и углы при вершинах \(А\) и \(С\) равны. Обозначим их через \(\alpha\).

Таким образом, углы треугольника \(АОС\) будут следующими:

\[\angle AOC = 90^\circ, \quad \angle AOS = \angle COS = \alpha\]

б) Теперь докажем, что треугольник \(АСВ\) прямоугольный.

Вернемся к треугольнику \(АОС\). Так как углы при вершинах \(А\) и \(С\) равны (\(\angle AOS = \angle COS = \alpha\)), то треугольник \(АОС\) - равнобедренный.

Также, угол \(АОВ\) - это угол, стоящий на центральном угле, опирающемся на хорду \(АС\), следовательно, он равен углу \(АСО\). Обозначим его через \(\beta\).

Теперь рассмотрим треугольник \(АСВ\). Угол при вершине \(В\) равен сумме углов при вершинах \(А\) и \(С\) (\(\angle B = \alpha + \beta\)).

Так как углы при вершинах \(А\) и \(С\) равны (\(\alpha\)), то угол при вершине \(В\) равен \(2\alpha\).

Таким образом, в треугольнике \(АСВ\) у нас есть угол \(2\alpha\), который является углом при вершине. Из предыдущего пункта мы знаем, что углы при вершинах \(А\) и \(С\) равны, а значит, угол при вершине \(В\) равен \(90^\circ\).

Таким образом, треугольник \(АСВ\) оказывается прямоугольным, что и требовалось доказать.