Question

Помогиье пожалуйста.. В трапецию АВСD вписана окружность. докажите, что АВ+СD =ВС+АD..

Answer 1

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Отсюда следует, что если в трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон

AB+CD=AD+BC

Answer 2

есть свойство: В выпуклый четырехугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: 

Answer 3

Для доказательства равенства отрезков AB и CD, мы можем использовать свойство трапеции, которое гласит: "Сумма оснований трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции".

Пусть основания трапеции ABCD равны AB и CD, а высота трапеции равна h.

Так как окружность вписана в трапецию ABCD, то она касается всех сторон трапеции в точках касания. Поэтому каждая из сторон трапеции является хордой окружности.

Рассмотрим отрезок AB. Он является основанием трапеции и, следовательно, является хордой окружности. По свойству хорды окружности, отношение длины отрезка AB к диаметру окружности равно отношению расстояния от середины хорды до центра окружности к радиусу окружности.

То есть AB/2R = h/R, где R - радиус окружности.

Таким же образом, отрезок CD также является хордой окружности и имеет отношение CD/2R = h/R.

Так как AB/2R = CD/2R, то AB = CD.

Таким образом, мы доказали, что отрезки AB и CD равны.

Из этого следует, что отрезки AB и CD равны попарно, то есть AB = CD, а BC = DA.

Таким образом, мы доказали, что в трапеции ABCD, вписанной окружностью, стороны AB и CD равны между собой, а стороны BC и DA также равны между собой.