Question

Даны окружность, заданная уравнением х2 + у2 − 2у − 8 = 0, и точка А (4; 4). Напишите уравнение окружности, имеющей центр в данной точке и касающейся данной окружности внешним образом.

Answer 1

Смотри на сайте всё всё.ру
поможет
личный опыт

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение окружности с центром в точке \( A (4, 4) \), касающейся данной окружности внешним образом, нужно использовать основные свойства касания окружностей.

Уравнение данной окружности: \( x^2 + y^2 - 2y - 8 = 0 \)

Перепишем его в виде: \( x^2 + (y^2 - 2y) = 8 \)

Чтобы новая окружность касалась данной внешним образом, расстояние от центра новой окружности до центра данной окружности равно разности их радиусов.

Центр данной окружности можно найти из уравнения окружности, выделив полный квадрат для координат \( y \):

\( x^2 + (y^2 - 2y + 1) = 8 + 1 \) \( x^2 + (y - 1)^2 = 9 \)

Следовательно, центр данной окружности - это точка с координатами \( (0, 1) \).

Радиус данной окружности: \( r = \sqrt{9} = 3 \)

Теперь, чтобы новая окружность с центром в точке \( A (4, 4) \) касалась данной окружности внешним образом, радиус новой окружности должен быть равен сумме радиуса данной окружности и расстояния между центрами.

Расстояние между центрами можно найти по формуле расстояния между двумя точками:

\( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) \( d = \sqrt{(4 - 0)^2 + (4 - 1)^2} \) \( d = \sqrt{4^2 + 3^2} \) \( d = \sqrt{16 + 9} \) \( d = \sqrt{25} \) \( d = 5 \)

Радиус новой окружности: \( R = 3 + 5 = 8 \)

Таким образом, уравнение новой окружности с центром в точке \( A (4, 4) \) и касающейся данной окружности внешним образом будет:

Центр: \( (4, 4) \) Радиус: \( R = 8 \)

Уравнение окружности имеет вид:

\( (x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 8^2 \) \( (x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 64 \)

Это и будет уравнением новой окружности, касающейся данной окружности внешним образом и имеющей центр в точке \( A (4, 4) \).