Question

В треугольнике длины сторон явлются последовательными четными числами.одна из биссектрис перпендикулярна медиане,проведенной из другого угла.найти стороны

Answer 1

Треугольник примерно такой, как на рисунке
биссектриса красная, медиана синяя.
Сторона b в два раза длиннее стороны a
Если с длиннее b, то а=2, b=4, c=6. И треугольник невозможен
следующая тройка а=4, c=6, b=8
И это ответ.

Answer 2

Пусть стороны треугольника имеют длины a, b и c, где a < b < c.

По условию, длины сторон являются последовательными четными числами, значит можно записать их как 2n, 2n+2 и 2n+4, где n - некоторое целое число.

Также известно, что одна из биссектрис треугольника перпендикулярна медиане, проведенной из другого угла. Пусть это будет биссектриса, проведенная из угла с длиной стороны 2n. Тогда длина этой биссектрисы будет равна:

l₁ = (2n+2)(2n+4) / (2n + 6)

Также известно, что биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные смежным сторонам. То есть, отношение длины отрезка, на котором лежит биссектриса, к длине смежной стороны будет равно отношению длины другого отрезка, на котором лежит биссектриса, к длине другой смежной стороны.

Пусть отрезок, на котором лежит биссектриса, делит сторону 2n на отрезки x и y, а смежные стороны имеют длины 2n+2 и 2n+4. Тогда получаем систему уравнений:

x / (2n+2) = (2n+4) / y y / (2n+4) = (2n+2) / x

Решая данную систему уравнений, получаем:

x = (2n+2)^2 / (2n+6) y = (2n+4)^2 / (2n+6)

Теперь можем выразить длину стороны треугольника c через x и y:

c = x + y

Подставляем значения x и y, получаем:

c = (2n+2)^2 / (2n+6) + (2n+4)^2 / (2n+6)

Таким образом, мы нашли выражение для длины стороны треугольника c в зависимости от целого числа n.