Question

Докажите, что если в треугольнике равны две высоты, то этот треугольник равнобедренный.

Answer 1

площадь равна полупроизведению высоты на сторону, к которой она проведена. (Это доказывается без использования утверждения задачи, поэтому может использоваться для доказательства.) Поэтому если равны высоты, то равны и стороны, к которым они проведены.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством треугольника: высота, проведенная к стороне треугольника, является перпендикуляром к этой стороне и проходит через ее середину.

Пусть треугольник ABC имеет две равные высоты, проведенные к сторонам AB и AC. Обозначим точки пересечения этих высот с соответствующими сторонами треугольника как D и E.

Так как высоты равны, то AD = AE. Также, по свойству высоты, точки D и E делят стороны AB и AC пополам. Это означает, что BD = DC.

Таким образом, мы получили, что две стороны треугольника AB и AC равны между собой (AB = AC) и две соответствующие им высоты AD и AE равны между собой (AD = AE). Значит, треугольник ABC является равнобедренным.

Таким образом, мы доказали, что если в треугольнике равны две высоты, то этот треугольник равнобедренный.