Question

площадь треугольника abc равна 140 на стороне AC взята точка M что AM:CM=3:2. Биссектриса AL пересекает прямую BM в точке К. Найдите площадь четырехугольника MCLK если известно что MK:BK=1:3

Answer 1

Задача 23 из теста 2 для ГИА по математике.

 

Площадь треугольника ABC равна 140. На стороне AC взята такая точка М, что AM:CM=3:2.Биссектриса AL пересекает прямую BM в точке K Найдите площадь четырехугольника MCLK, если известно, что MK:BK=1:3

 

Решение:

 

 

 

Известно, что на стороне AC взята точка M так, что AM:CM=3:2. Таким образом, Выв видите, что сторона AC содержит 3+2=5 частей. В соответствии с этим площадь треугольника ABC,  равная 140, делится прямой BM на два треугольника: ABM с площадью 84 и MBC с площадью 56.

     Здесь 140 квадратных единиц предварительно делим на 5 частей и получаем, что на одну часть приходится 28 квадратных единиц. Тогда площадь треугольника ABM составит 3 части, то есть 28*3=84 кв. единицы, и площадь треугольника MCB составит остальные 56 квадратных единиц (28*2=56).

    Теперь вспомним, что бессектриса AL угла A треугольника ABM делит противоположную сторону BM в точке K и сам треугольник треугольник ABM на 4 части в отношении MK:BK=1:3. В этом же отношении находятся и прилежащие стороны треугольника ABM, то есть AM : AB как MK : BK. Иначе говоря, AM составляет 1 часть и BK составляет 3 части. 

     Аналогично названная биссектрисса AL делит сторону BC и сам треугольник ABC на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Нам нужно вычислить отношение сторон последнего треугольника друг к другу. В силу того, что отрезок

 

Известно, что на стороне AC взята точка M так, что AM:CM=3:2. Таким образом, Выв видите, что сторона AC содержит 3+2=5 частей. В соответствии с этим площадь треугольника ABC,  равная 140, делится прямой BM на два треугольника: ABM с площадью 84 и MBC с площадью 56.

     Здесь 140 квадратных единиц предварительно делим на 5 частей и получаем, что на одну часть приходится 28 квадратных единиц. Тогда площадь треугольника ABM составит 3 части, то есть 28*3=84 кв. единицы, и площадь треугольника MCB составит остальные 56 квадратных единиц (28*2=56).

    Теперь вспомним, что бессектриса AL угла A треугольника ABM делит противоположную сторону BM в точке K и сам треугольник треугольник ABM на 4 части в отношении MK:BK=1:3. В этом же отношении находятся и прилежащие стороны треугольника ABM, то есть AM : AB как MK : BK. Иначе говоря, AM составляет 1 часть и BK составляет 3 части. 

     Аналогично названная биссектрисса AL делит сторону BC и сам треугольник ABC на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Нам нужно вычислить отношение сторон последнего треугольника друг к другу. В силу того, что отрезок AM составлял по условию задачи 3 части, а теперь составляет одну часть отрезок AB теперь составляет 9 частей, а отрезок MC содержит 2 части, как дано по условию задачи. Тогда сторона AC составляет 5 частей и всего AB+AC = 3 + 2 = 14 частей. Легко подсчитать, что на 1 часть приходится 140 : 14 = 10 квадратных единиц площади. Поэтому площадь треугольника ALC будет равна 10*5=50 кв. единиц, и площадь треукгольника ALB будет равна 90 кв. ед. Площадь треугольника AKM равна 84 : 4 = 21 (кв. ед.) Тогда искомая площадь четырехугольника MCLK равна 50 - 21 = 29 (кв. единиц). Задача решена полностью!!!

 

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами биссектрисы треугольника.

Площадь треугольника ABC равна 140. Пусть BC = a, AC = b, AB = c.

Из условия задачи AM:CM = 3:2, можно записать AM = 3x и CM = 2x, где x - некоторая константа.

Так как BL является биссектрисой треугольника ABC, то можно использовать теорему биссектрисы: AB/BC = AM/MC c/a = 3x/2x c/a = 3/2 c = (3/2)a

Теперь найдем площадь треугольника ABC через стороны: S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)], где p - полупериметр треугольника.

p = (a+b+c)/2 = (a+b+(3/2)a)/2 = (5/2)a + b/2 S = √[((5/2)a + b/2)((5/2)a + b/2 - a)((5/2)a + b/2 - b)((5/2)a + b/2 - (3/2)a)] S = √[((5/2)a + b/2)(a/2)(b/2)(a/2)] S = √[(5/2ab/4)(ab/4)] S = √[(5/16)a^2b^2] S = (1/4)ab√5

Теперь найдем отношение MK:BK = 1:3, можно записать MK = x и BK = 3x, где x - некоторая константа.

Так как AL