Question

радиус основания конуса 5, а высота 12. плоскость сечения проходит через вершину конуса и хорду основания, длина которой 6. найдите расстояние от центра основания до плоскости сечения

Answer 1

Расстоянием от центра до плоскости будет ОL. ОL перпендикулярна плоскости ABS. Так как OL перпендикулярна SM по постороению.Также OL перпендикулярна АВ. AB перпендикулярна всей плоскости SOM по теореме о 3-х перпендикулярах. Значит и  $OL\perp AB,\quad OL\perp LM$ Если прямая перпендикулярна двум непараллельным прямым в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.

Рассмотрим треугольник SOM. Он - прямоугольный. Теперь найдем неизвестный катет ОМ. Его можно узнать из прямоугольного треугольника в основании конуса $\Delta AOM.$ Так как АМ=МВ=3, так как SM - является высотой, биссектрисой и медианой в равнобедренном треугольнике ASB (AS=BS).  

У треугольника АОМ гипотенуза ОА=5 см, АМ=3см. Надо узнать только ОМ. По теореме Пифагора

$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$

 

Теперь снова обратим внимание на треугольник SOM. Два катета у него уже известны. SO=12 см как высота конуса. Теперь найдем гипотенузу SM по той же теореме Пифагора.

 

$SM=\sqrt{OM^2+SO^2}=\sqrt{4^2+12^2}=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$

 

Найдем синус угла М в треугольнике SOM.

$\sin\angle M=\frac{SO}{SM}=\frac{12}{4\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$

 

Теперь из прямоугольного треугольника MOL найдем катет OL, зная гипотенузу ОМ.

$OL=OM*\sin\angle M=4*\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{12}{\sqrt{10}}$

 

Ответ: расстояние от точки О до плоскости сечения равно $\frac{12}{\sqrt{10}}$

Answer 2

Есть конус. т.О - центр основания, Д - вершина, АВ - хорда.

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВО: АО=ВО=r=5, АВ=6. Из т.О опустим перпендикуляр ОС к стороне АВ:

ОС^2=AO^2-AC^2=5^2-(6/2)^2=25-9=16, ОС=4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник СДО: 

СД^2=OC^2+ОД^2=4^2+12^2=16+144=160, СД=4*корень из 10 

Из т.О проведем перпендикуляр ОЕ к стороне СД. Треугольники СДО и ЕДО подобны (угол Д общий, угол СОД=ОЕД=90). Тогда:

СД:ОД=ОС:ОЕ;

ОЕ=ОД*ОС/СД=12*4/(4*корень из 10)=12/корень из 10

 

   

 

 

 

 

 

 

 

Answer 3

Для решения задачи воспользуемся геометрическими свойствами конуса.

Обозначим через \( r \) радиус основания конуса (в данном случае \( r = 5 \)) и через \( h \) его высоту (в данном случае \( h = 12 \)).

Сначала найдем угол между хордой и линией, соединяющей вершину конуса с центром его основания. Этот угол равен углу наклона касательной, проведенной к основанию конуса в точке, где она пересекает хорду.

Поскольку угол наклона касательной к кривой в точке пересечения с хордой равен углу между радиусом, проведенным к точке пересечения, и касательной, угол \( \theta \) между линией, соединяющей вершину конуса с центром основания, и хордой можно найти, используя тангенс угла наклона касательной:

\[ \tan(\theta) = \frac{{\text{{половина длины хорды}}}}{{\text{{расстояние от вершины до центра основания}}}} \]

Так как длина хорды равна 6 (половина хорды равна 3) и расстояние от вершины до центра основания равно высоте конуса (в данном случае 12), мы можем найти тангенс угла \( \theta \):

\[ \tan(\theta) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]

Теперь найдем расстояние от вершины конуса до плоскости сечения. Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник с известным углом \( \theta \) и катетами 12 и \( r \) (равными высоте конуса и радиусу основания соответственно), мы можем воспользоваться тангенсом угла в прямоугольном треугольнике:

\[ \tan(\theta) = \frac{h}{r} \]

Подставляем значение тангенса и известные значения:

\[ \frac{1}{4} = \frac{12}{r} \]

Решим уравнение относительно \( r \):

\[ r = 12 \cdot 4 = 48 \]

Таким образом, радиус основания конуса равен 48.

Теперь, чтобы найти расстояние от центра основания до плоскости сечения, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом конуса, расстоянием от вершины до центра основания и расстоянием от вершины до плоскости сечения:

\[ d = \sqrt{r^2 + h^2} \]

Подставляем известные значения:

\[ d = \sqrt{48^2 + 12^2} = \sqrt{2304 + 144} = \sqrt{2448} \approx 49.47 \]

Таким образом, расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения равно примерно 49.47.