Question

Треугольник со сторонами 13 см 14 см 15 см вращается вокруг средней стороны. Чему равен объем полученного тела вращения?

Answer 1

Треугольник составлен из двух пифагоровых треугольников (5,12,13) и (9,12,15), так, что катеты 12 совпадают, а пара других дает в сумме сторону 14; (то есть 9 + 5 = 14);
Таким образом, у треугольника высота к стороне 14 равна 12.
Тело вращения - это два конуса с радиусами основания 12 и высотами 5 и 9;
V = (1/3)*π*12^2*(5 + 9) = (π/3)*12^2*14 = 672*π

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо найти радиус окружности, по которой вращается треугольник. Радиус можно найти по формуле:

r = (a * b * c) / (4 * S),

где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.

Сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона:

p = (a + b + c) / 2,

где p - полупериметр треугольника.

S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Для треугольника со сторонами 13 см, 14 см, 15 см:

p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21,

S = sqrt(21 * (21 - 13) * (21 - 14) * (21 - 15)) = sqrt(21 * 8 * 7 * 6) = sqrt(2^2 * 3 * 7 * 2^3 * 3) = 2 * 3 * sqrt(7) = 6 * sqrt(7).

Теперь можем найти радиус окружности:

r = (13 * 14 * 15) / (4 * 6 * sqrt(7)) = (13 * 15) / (2 * sqrt(7)) = (13 * 15 * sqrt(7)) / 14.

После этого можем найти объем полученного тела вращения:

V = (pi * r^2 * h) / 3,

где h - высота тела вращения.

Так как треугольник вращается вокруг средней стороны, то высота равна длине этой стороны.

h = 14.

Теперь можем найти объем:

V = (pi * ((13 * 15 * sqrt(7)) / 14)^2 * 14) / 3 = (pi * (13 * 15)^2 * 7) / (2^2 * 3 * 14 * 3) = (pi * 13^2 * 15^2 * 7) / (4 * 3 * 14 * 3) = (pi * 13^2 * 15^2 * 7) / (4 * 6 * 7) = (pi * 13^2 * 15^2) / 24.

Таким образом, объем полученного тела вращения равен (pi * 13^2 * 15^2) / 24.