Question

Решите уравнение √(5-2x) +√(x-1) = 2. Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите их сумму.

Answer 1

$\sqrt{5-2x} + \sqrt{x-1} =2$

Возьмём оба части до квадрата

$(\sqrt{5-2x} + \sqrt{x-1})^2 =2^2 \\ ( \sqrt{5-2x})^2+2 \sqrt{(5-2x)(x-1)}+( \sqrt{x-1})^2 =4 \\ 5-2x+2 \sqrt{-2x^2+7x-5} +x-1=4 \\ 2\sqrt{-2x^2+7x-5}=x \\ (2\sqrt{-2x^2+7x-5})^2=x^2 \\ 4(-2x^2+7x-5)=x^2 \\ -8x^2+28x-20=x^2 \\ -9x^2+28x-20=0|*(-1) \\ 9x^2-28x+20=0$

$D=b^2-4ac=(-28)^2-4*9*20=64; \sqrt{D} =8$
Дискриминант положителен, значит уравнение имеет 2 корня
Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения

$x_1= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{28+8}{18} =2 \\ x_2= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{28-8}{18} = \frac{10}{9}$

Ответ: 10/9;2.

Answer 2

Давайте решим данное уравнение поэтапно.

1. Сначала возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы убрать корни. Получаем: (√(5-2x) + √(x-1))^2 = 2^2 (5-2x) + 2√((5-2x)(x-1)) + (x-1) = 4

2. Раскрываем скобки и упрощаем уравнение: 5-2x + 2√((5-2x)(x-1)) + x-1 = 4 4 - x + 2√((5-2x)(x-1)) = 4 -x + 2√((5-2x)(x-1)) = 0

3. Переносим все слагаемые, содержащие переменную x, на одну сторону уравнения: 2√((5-2x)(x-1)) = x

4. Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы убрать корень: 4(5-2x)(x-1) = x^2

5. Раскрываем скобки, собираем все слагаемые и приводим уравнение к квадратному виду: 20 - 8x + 4x^2 - 4x + x^2 = x^2 5x^2 - 12x + 20 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение 5x^2 - 12x + 20 = 0. Мы можем решить его с помощью дискриминанта или методом факторизации.

Решение с помощью дискриминанта:

1. Найдем дискриминант D: D = b^2 - 4ac D = (-12)^2 - 4(5)(20) D = 144 - 400 D = -256

2. Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Решение методом факторизации:

1. Попробуем разложить уравнение на множители: 5x^2 - 12x + 20 = 0 (5x - 10)(x - 2) = 0

2. По свойству нулевого произведения, один из множителей должен быть равен нулю: 5x - 10 = 0 или x - 2 = 0

Решим каждое уравнение отдельно: 5x = 10 => x = 2 x = 2

Таким образом, уравнение имеет единственный корень x = 2.

Ответ: x = 2.