Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 18см, а один из его углов равен 60о. Найти площадь и периметр треугольника. 2. В трапеции один из углов равен 120о, , а её основания равны 10см и 18см. Найти площадь и периметр трапеции.

Answer 1

1)Если в прямоугольном треугольнике есть угол с градусной мерой в 60 градусов, то в нём будет и угол с градусной мерой в 30 градусов, а это значит, что мы имеем гипотенузу, равную 18 см, и катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, а, следовательно, он будет равен половине гипотенузы, т.е. 18:2=9 см.
Теперь по теореме Пифагора находим второй катет, лежащий напротив угла в 60 градусов:
18^2=9^2+x^2
x=√18^2-9^2=√243=15,6(полное число таково: 15,588457268, так что я его округлил)
Таким образом, периметр треугольника равен: 15,6+18+9=42,6 см.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: (15,6*9):2=70,2 см^2
2) Проведём от меньшего основания трапеции высоту к большему. Тогда мы получим прямоугольный треугольник с углами 60,30 и 90(Мы получаем угол в 30 градусов, проведя высоту из угла в 120 градусов, т.е. 120-90, а там уже второй острый угол находится вот так:180-90-30=60)
В этом прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, будет >0, но <8, т.е. 0<x<8. Здесь мы можем брать любое значение, но, к сожалению, ответ не будет одинаковым во всех случаях. У нас не сказано, что данная трапеция равнобедренная или прямоугольная, следовательно, второй тупой и острый угол могут иметь различную градусную величину. Поэтому я возьму размер образованного катета за 5 см, но если взять любое другое значение, то ответ окажется другим.
Раз этот катет лежит напротив угла в 30 градусов, то гипотенуза равна 10 см, а второй катет: 10^2-5^2=√75.
Этот второй катет является высотой, следовательно, площадь трапеции равна: (18+10):2*√75=(приблизительно!)121 см^2(полное число таково:121,24355653).
Найдём во втором прямоугольном треугольнике гипотенузу.
Катеты в нём равны 3 см и √75 см. По теореме Пифагора гипотенуза равна:√75+9=√84=(приблизительно!)9,17(полное число таково:9,1651513899)
Тогда периметр данной трапеции равен:9,17+18+10+10=47,17 см.

Answer 2

1. Прямоугольный треугольник: Дано: - Гипотенуза (c) = 18 см - Один из углов (угол А) = 60°

Используем тригонометрический подход для нахождения катетов: \[ \cos(A) = \frac{\text{Катет при } A}{\text{Гипотенуза}} \]

\[ \cos(60°) = \frac{\text{Катет при } 60°}{18} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{\text{Катет при } 60°}{18} \] \[ \text{Катет при } 60° = 9 \, \text{см} \]

Теперь можем найти второй катет, используя теорему Пифагора: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ 18^2 = 9^2 + b^2 \] \[ 324 = 81 + b^2 \] \[ b^2 = 243 \] \[ b = \sqrt{243} = 3\sqrt{27} = 9\sqrt{3} \, \text{см} \]

Теперь мы знаем длины всех сторон. Можем найти площадь и периметр:

- Периметр (P): \[ P = a + b + c \] \[ P = 9 + 9\sqrt{3} + 18 \] \[ P = 27 + 9\sqrt{3} \, \text{см} \]

- Площадь (S): \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9\sqrt{3} \] \[ S = \frac{81}{2}\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

2. Трапеция: Дано: - Угол (угол А) = 120° - Основания (a и b) = 10 см и 18 см

Мы можем разделить трапецию на два треугольника, каждый из которых прямоугольный. В одном из треугольников угол равен 120°, а в другом 60°. Оба треугольника имеют общий катет, равный разности длин оснований трапеции (18 - 10 = 8 см).

Площадь каждого треугольника: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

Периметр трапеции: \[ P_{\text{трапеции}} = a + b + c_1 + c_2 \]

- Площадь (S): \[ S = S_{\text{треугольника1}} + S_{\text{треугольника2}} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 18 + \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \] \[ S = 72 + 40 = 112 \, \text{см}^2 \]

- Периметр (P): \[ P = 10 + 18 + 8 + 8 \] \[ P = 44 \, \text{см} \]