Question

В треугольник ABC со сторонами AB=5 BC=8 AC=9,вписана окружность, касающиеся стороны АС в точке К.Найдите расстояние от точки К до точки М биссектрисы BM.

Answer 1

К - точка касания с AC. L - точка касания с AB. N - точка касания с BC. Пусть AK=AL=x. Тогда, BL=BN=5-x; CN=CK=8-(5-x)=3+x. AC=AK+KC=x+3+x=9. 4x=6. AK=x=3/2
Биссектриса делит сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Значит, AM/MC=AB/BC. AM*BC=MC*AB. Пусть AM=y, тогда MC=9-y. 8y=5(9-y). 13y=45. AM=y=45/13. KM=AM-AK=45/13-3/2=51/26

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности треугольника.

Заметим, что точка К является точкой касания вписанной окружности с стороной AC. По свойству касательной, отрезок КМ будет являться биссектрисой угла B.

Для нахождения расстояния от точки К до точки М нам необходимо найти длину отрезка КМ.

Известно, что биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные оставшимся сторонам треугольника. Обозначим отрезок КМ через х.

Тогда, согласно свойству биссектрисы, имеем:

BM/MA = BC/AC

Подставим известные значения:

BM/(5 - х) = 8/9

Решим данное уравнение относительно х:

9BM = 8(5 - х)

9BM = 40 - 8х

8х + 9BM = 40

8х = 40 - 9BM

х = (40 - 9BM)/8

Таким образом, мы получили формулу для нахождения расстояния от точки К до точки М биссектрисы BM: х = (40 - 9BM)/8.