Question

длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 18 см а градусная мера одного из его острых углов равна 60 градусов Найдите площадь треугольника

Answer 1

Другой острый угол равен 180-90-60=30
значит, сторона напротив этого угла в 2 раза меньше гипотенузы, т.е. равна a=18/2=9

S=1/2 *c*a*sin60=1/2*18*9 *корень(3)/2=81*корень(3)/2

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. У нас есть гипотенуза и один из острых углов, так что мы можем использовать тангенс этого угла.

Пусть \( a \) и \( b \) - катеты прямоугольного треугольника, а \( c \) - гипотенуза. Тогда:

\[ \tan(\theta) = \frac{a}{b} \]

В нашем случае угол \( \theta \) равен 60 градусов, а гипотенуза \( c \) равна 18 см. Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[ \tan(60^\circ) = \frac{a}{b} \]

Решая это уравнение, мы найдем отношение \( \frac{a}{b} \). Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти длины катетов \( a \) и \( b \):

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 18^2 = a^2 + b^2 \]

Решив это уравнение, мы найдем \( a \) и \( b \).

Теперь, когда у нас есть длины всех сторон треугольника, мы можем использовать формулу для площади прямоугольного треугольника:

\[ S = \frac{1}{2}ab \]

Где \( a \) и \( b \) - длины катетов.

Таким образом, шаги решения:

1. Найдем отношение \( \frac{a}{b} \) с использованием тангенса угла 60 градусов. 2. Решим уравнение Пифагора \( 18^2 = a^2 + b^2 \) для нахождения \( a \) и \( b \). 3. Вычислим площадь треугольника с использованием формулы \( S = \frac{1}{2}ab \).

Давайте решим это:

1. \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\), следовательно, \( \frac{a}{b} = \sqrt{3} \).

2. Решим уравнение Пифагора: \(18^2 = a^2 + b^2\). Получаем \(a = 9\sqrt{3}\) и \(b = 9\).

3. Теперь вычислим площадь: \(S = \frac{1}{2} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 9 = \frac{81\sqrt{3}}{2}\) квадратных сантиметра.

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна \(\frac{81\sqrt{3}}{2}\) квадратных сантиметра.