Question

В прямоугольную трапецию с острым углом а вписана окружность радиуса R. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

 площадь трапеции можно записать следующей формулой:S=D(Sinα+Sinβ)/2SinαSinβгде S — площадь трапеции D — диаметр вписанной в трапецию окружности α и β — углы между боковыми сторонами трапеции и ее основанием.
Если в трапецию можно вписать окружность, то в такой трапеции сумма боковых сторон равна сумме оснований. Известно, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Очевидно, что диаметр вписанной в трапецию окружности является высотой данной трапеции. Тогда площадь трапеции равна произведению полусуммы боковых сторон на диаметр вписанной окружности.
Диаметр окружности равен двум радиусам.

Answer 2

Пусть основания трапеции равны a и b, а высота равна h. Так как вписанная окружность радиуса R касается всех сторон трапеции, то ее радиус является высотой трапеции. Также известно, что сумма параллельных сторон трапеции равна сумме радиусов окружности, вписанной в трапецию, и окружности, описанной около трапеции.

Из этого можно записать систему уравнений: a + b = 2R h = R

Решая эту систему, найдем значения a и b: a = 2R - b h = R

Площадь трапеции можно найти по формуле: S = (a + b) * h / 2

Подставим значения a и b из системы уравнений: S = ((2R - b) + b) * R / 2 S = (2R - b + b) * R / 2 S = 2R^2 / 2 S = R^2

Таким образом, площадь трапеции равна квадрату радиуса вписанной окружности.