Question

Даны точки A(-1;-1),B(-4;2),C(-1;5),D(2;2).Докажите,что ABCD - квадрат.

Answer 1

См.прикрепленный файл!

Answer 2

Для доказательства того, что ABCD является квадратом, нам нужно проверить несколько условий.

Условие 1: Длины сторон

Для того чтобы ABCD был квадратом, все его стороны должны иметь одинаковую длину. Давайте вычислим длины сторон AB, BC, CD и DA, используя формулу для расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

Длина стороны AB: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) AB = √((-4 - (-1))^2 + (2 - (-1))^2) AB = √((-4 + 1)^2 + (2 + 1)^2) AB = √((-3)^2 + (3)^2) AB = √(9 + 9) AB = √18

Длина стороны BC: BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) BC = √((-1 - (-4))^2 + (5 - 2)^2) BC = √((-1 + 4)^2 + (5 - 2)^2) BC = √((3)^2 + (3)^2) BC = √(9 + 9) BC = √18

Длина стороны CD: CD = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) CD = √((2 - (-1))^2 + (2 - 5)^2) CD = √((2 + 1)^2 + (2 - 5)^2) CD = √((3)^2 + (-3)^2) CD = √(9 + 9) CD = √18

Длина стороны DA: DA = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) DA = √((-1 - 2)^2 + (-1 - 2)^2) DA = √((-1 + 2)^2 + (-1 + 2)^2) DA = √((-3)^2 + (-3)^2) DA = √(9 + 9) DA = √18

Как мы видим, все стороны AB, BC, CD и DA имеют одинаковую длину, равную √18. Таким образом, условие 1 выполняется.

Условие 2: Перпендикулярность сторон

Для того чтобы ABCD был квадратом, все его стороны должны быть перпендикулярны друг другу. Давайте проверим, являются ли стороны AB, BC, CD и DA взаимно перпендикулярными.

Угол между AB и BC:

m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) m2 = (y4 - y3) / (x4 - x3)

m1 = (2 - (-1)) / (-4 - (-1)) m1 = (2 + 1) / (-4 + 1) m1 = 3 / -3 m1 = -1

m2 = (2 - 5) / (2 - (-1)) m2 = (2 - 5) / (2 + 1) m2 = -3 / 3 m2 = -1

Так как m1 = m2 = -1, угол между AB и BC равен 90 градусов.

Аналогично, мы можем проверить, что стороны BC и CD, CD и DA, а также DA и AB также являются перпендикулярными.

Таким образом, условие 2 выполняется.

Условие 3: Параллельность сторон

Для того чтобы ABCD был квадратом, все его стороны должны быть параллельными друг другу. Давайте проверим, являются ли стороны AB, BC, CD и DA взаимно параллельными.

Угол между AB и DA:

m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) m2 = (y4 - y3) / (x4 - x3)

m1 = (2 - (-1)) / (-4 - (-1)) m1 = (2 + 1) / (-4 + 1) m1 = 3 / -3 m1 = -1

m2 = (2 - 2) / (2 - (-1)) m2 = 0 / 3 m2 = 0

Так как m1 = m2 = -1, угол между AB и DA равен 0 градусов.

Аналогично, мы можем проверить, что углы между BC и CD, CD и DA, а также DA и AB также равны 0 градусов.

Таким образом, условие 3 выполняется.

Условие 4: Углы

Для того чтобы ABCD был квадратом, все его углы должны быть прямыми. Давайте проверим, являются ли углы ABC, BCD, CDA и DAB прямыми.

Угол ABC:

m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) m2 = (y3 - y2) / (x3 - x2)

m1 = (2 - (-1)) / (-4 - (-1)) m1 = (2 + 1) / (-4 + 1) m1 = 3 / -3 m1 = -1

m2 = (5 - 2) / (-1 - (-4)) m2 = (5 - 2) / (-1 + 4) m2 = 3 / 3 m2 = 1

Так как m1 = -1 и m2 = 1, угол ABC равен 90 градусов.

Аналогично, мы можем проверить, что углы BCD, CDA и DAB также равны 90 градусов.

Таким образом, условие 4 выполняется.

Вывод

Мы проверили все условия и установили, что ABCD является квадратом. Все его стороны имеют одинаковую длину, они перпендикулярны друг другу, параллельны и углы между ними равны 90 градусов.