Question

Докажите что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон

Answer 1

По теорему cos
d1²=a²+d²-2ab·cosα
d2²=a²+d²-2ab(180-cosα)
Так как 180-cosα=-cosα то d2²=a²+d²+2ab·cosα
Прибавляем
d1²+d2²=2a²+2d²=2(a²+d²)
Ч.Т.Д

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством параллелограмма, что противоположные стороны равны и параллельны.

Пусть ABCD - параллелограмм, где AB и CD - его стороны, а AC и BD - его диагонали.

Рассмотрим сумму квадратов сторон параллелограмма:

AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2

По свойству параллелограмма, AB = CD и BC = DA, поэтому можно записать:

AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AB^2 + DA^2 + AB^2 + DA^2 = 2(AB^2 + DA^2)

Теперь рассмотрим сумму квадратов диагоналей:

AC^2 + BD^2

Подставим значения диагоналей AC и BD через стороны параллелограмма:

AC^2 + BD^2 = (AB + BC)^2 + (AB - BC)^2 = AB^2 + 2AB*BC + BC^2 + AB^2 - 2AB*BC + BC^2 = 2(AB^2 + BC^2)

Таким образом, мы получили, что сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей:

AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2

Таким образом, доказано, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.