Question

Из точки О пересечения диагоналей ромба ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр OM. Докажите, что (BD) перпендикулярна (MC).

Answer 1

BD перпендикулярно ОС и МО. Поэтому ВD перпендикулярно плоскости МОС (проходящей через МО и ОС), а, следовательно, любой прямой в плоскости МОС, в том числе и МС.

Answer 2

Диагонали ромба ВД и  АС перпендикулярны, и конечно, диагональ ВД перпендикулярна ОС.

Теперь теорема о трёх перпендикулярах.

Прямая (ВД), лежащая в плоскости (АВСД) и перпендикулярная проекции (ОС)наклонной (МС) на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной (МС)

Итак, ВД перпендикулярна МС.

 

Answer 3

Для доказательства перпендикулярности отрезков BD и MC можно воспользоваться свойством ромба.

В ромбе ABCD диагонали AC и BD делятся точкой O. По определению ромба, диагонали ромба являются взаимно перпендикулярными. То есть, AC перпендикулярна BD.

Также, по условию задачи, отрезок OM проведен перпендикулярно плоскости ромба ABCD.

Теперь рассмотрим треугольник MCD. Так как отрезок OM перпендикулярен плоскости ABCD, то он также перпендикулярен отрезку CD, так как CD лежит в этой плоскости. Поэтому угол OMC является прямым углом.

С другой стороны, угол OMC является внут