Question

Боковая сторона трапеции равна меньшему основанию.Докажите,что диагональ трапеции лежит на биссектрисе ее острого угла.

Answer 1

Трапеция АВСД, АВ=ВС, треугольник АВС равнобедренный, уголВАС=уголАСВ, диагональ АС, уголАСВ=уголСАД как внутренние разносторонние= уголВАС, АС-биссектриса

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством биссектрисы треугольника.

Пусть ABCD - трапеция, где AB - основание, CD - меньшее основание, AD и BC - боковые стороны. Пусть M - точка пересечения диагоналей AC и BD.

Для начала заметим, что треугольники ABD и BCD равнобедренные, так как боковая сторона трапеции равна меньшему основанию. То есть AM = MD и BM = MC.

Также заметим, что треугольники ABM и CDM подобны, так как у них углы AMB и CDM являются соответственными углами при равных сторонах AM = MD и BM = MC.

Теперь рассмотрим треугольник AMC. По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса угла AMB (то есть диагональ AC) делит сторону BC пропорционально отношению боковых сторон AM и MC. То есть:

BC/AM = BM/MC

Учитывая, что BM = MC, получаем:

BC/AM = 1

То есть сторона BC равна стороне AM. Из равенства сторон следует, что треугольники ABC и AMC равны по стороне и двум углам (по стороне, так как BC = AM, и по двум углам, так как углы AMB и CDM равны).

Из равенства треугольников следует, что углы ABC и AMC равны. То есть диагональ AC лежит на биссектрисе угла ABC.

Таким образом, мы доказали, что диагональ трапеции лежит на биссектрисе ее острого угла.