Question

Даны точки к(4 -1) м(1 -1) n(-2;2) p(-5;2).Найти косинус угла между векторами KN(вектор)и PM(вектор)

Answer 1

Даны точки к(4 -1) м(1 -1) n(-2;2) p(-5;2).
Вектор KN: ((-2)-4)=-6; 2-(-1)=3) = (-6;3).
Вектор РМ: (1-(-5)=6; -1-2)=-3) =(6;-3).
Формула вычисления угла между векторами:cos α = (a·b)/|a|·|b|.

Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = -6*6 + 3*(-3) = -36 - 9 = -45.

Найдем модули векторов:

|a| = √((-6)² + 3²) = √(36 + 9) = √45 =3√5,
|b| = √(6²+(-3)²) = √(36 + 9) = √45 = 3√5.

Найдем угол между векторами:

cos α = (a*b)/(|a|*|b|) = -45/(√45*√45) = -45/45 = -1.

Угол равен arc cos(-1) = 180 °.

Answer 2

Чтобы найти косинус угла между векторами KN и PM, мы можем использовать формулу косинуса угла между двумя векторами. Формула выглядит следующим образом:

cos(θ) = (KN · PM) / (||KN|| * ||PM||)

где KN · PM - скалярное произведение векторов KN и PM, ||KN|| и ||PM|| - длины векторов KN и PM соответственно.

Вычисление длин векторов KN и PM

Для начала вычислим длины векторов KN и PM. Длина вектора определяется как квадратный корень суммы квадратов его компонентов. Давайте вычислим длины:

Длина вектора KN:

KN = sqrt((x_N - x_K)^2 + (y_N - y_K)^2)

где x_N, y_N - координаты точки N, x_K, y_K - координаты точки K.

Подставляя значения координат точек K(4, -1) и N(-2, 2), получаем:

KN = sqrt((-2 - 4)^2 + (2 - (-1))^2) = sqrt((-6)^2 + (3)^2) = sqrt(36 + 9) = sqrt(45) = 3√5

Аналогично, вычислим длину вектора PM:

PM = sqrt((x_M - x_P)^2 + (y_M - y_P)^2)

где x_M, y_M - координаты точки M, x_P, y_P - координаты точки P.

Подставляя значения координат точек P(-5, 2) и M(1, -1), получаем:

PM = sqrt((1 - (-5))^2 + (-1 - 2)^2) = sqrt((6)^2 + (-3)^2) = sqrt(36 + 9) = sqrt(45) = 3√5

Вычисление скалярного произведения векторов KN и PM

Теперь вычислим скалярное произведение векторов KN и PM. Скалярное произведение двух векторов определяется как сумма произведений соответствующих компонентов векторов. Давайте вычислим скалярное произведение:

KN · PM = (x_KN * x_PM) + (y_KN * y_PM)

где x_KN, y_KN - компоненты вектора KN, x_PM, y_PM - компоненты вектора PM.

Подставляя значения координат точек K(4, -1), N(-2, 2), P(-5, 2) и M(1, -1), получаем:

KN · PM = ((-2 - 4) * (1 - (-5))) + ((2 - (-1)) * (-1 - 2)) = (-6 * 6) + (3 * (-3)) = -36 - 9 = -45

Вычисление косинуса угла

Теперь, подставляя значения длин векторов KN и PM, а также скалярного произведения KN · PM в формулу косинуса угла, мы можем вычислить косинус угла между векторами KN и PM:

cos(θ) = (KN · PM) / (||KN|| * ||PM||) = -45 / (3√5 * 3√5) = -45 / (3 * 3 * √5 * √5) = -45 / (9 * 5) = -45 / 45 = -1

Таким образом, косинус угла между векторами KN и PM равен -1.