Question

Дано точки А (2;2;1), В (3;5;4) , С (-1;-10;-14) і D (-4;6;-1). Доведіть, що пряма АD перпендикулярна до площини АВС

Answer 1

Если уравнение плоскости АВС писать - это придется систему из трёх уравнений решать. Кот ленивый - не будет )
Гораздо проще доказать что AD перпендикулярно АВ и перпендикулярно АС , тогда AD перпендикулярно АВС.

АD (-6;4;-2)
AB(1;3;3)
AC(-3;-12;-15)

AD*AB= -6+12-6=0
AD*AC= 18-48+30=0
Доказано .

Answer 2

Щоб довести, що пряма АD перпендикулярна до площини АВС, ми можемо скористатися властивостями векторного добутку.

Вектори AB і AC

Спочатку нам потрібно знайти вектори AB і AC, які лежать на площині АВС і проходять через точки A, B і C відповідно.

Вектор AB визначається як різниця координат точок B і A: AB = B - A = (3 - 2, 5 - 2, 4 - 1) = (1, 3, 3)

Вектор AC визначається як різниця координат точок C і A: AC = C - A = (-1 - 2, -10 - 2, -14 - 1) = (-3, -12, -15)

Векторний добуток векторів AB і AC

Тепер ми можемо знайти векторний добуток векторів AB і AC, який буде перпендикулярний до площини АВС.

Векторний добуток векторів AB і AC визначається наступним чином: N = AB x AC

Де x позначає векторний добуток.

Підставляємо значення векторів AB і AC: N = (1, 3, 3) x (-3, -12, -15)

Обчислення векторного добутку

Щоб обчислити векторний добуток, ми можемо використати формулу: N = (y1 * z2 - y2 * z1, z1 * x2 - z2 * x1, x1 * y2 - x2 * y1)

Де (x1, y1, z1) і (x2, y2, z2) - координати векторів AB і AC відповідно.

Підставляємо значення координат і обчислюємо векторний добуток: N = ((3 * -15) - (3 * -12), (3 * -3) - (3 * -15), (1 * -12) - (3 * -3)) = (-45 - (-36), (-9) - (-45), (-12) - (-9)) = (-45 + 36, -9 + 45, -12 + 9) = (-9, 36, -3)

Перевірка перпендикулярності

Тепер, щоб перевірити, чи є пряма АD перпендикулярною до площини АВС, нам потрібно перевірити, чи є вектор AD перпендикулярним до вектора N.

Вектор AD визначається як різниця координат точок D і A: AD = D - A = (-4 - 2, 6 - 2, -1 - 1) = (-6, 4, -2)

Тепер обчислюємо скалярний добуток векторів AD і N: AD · N = (-6 * -9) + (4 * 36) + (-2 * -3) = (54) + (144) + (6) = 204

Якщо скалярний добуток AD · N дорівнює нулю, то вектори AD і N перпендикулярні один до одного. У нашому випадку, AD · N = 204, тому пряма АD не є перпендикулярною до площини АВС.

Таким чином, ми довели, що пряма АD не перпендикулярна до площини АВС.