Question

В треугольнике АВС АС=СВ=8, С=90 . Точка М удалена от плоскости треугольника АВС на расстояние, равное 4 и равноудалена от всех вершин треугольника АВС. Найти угол между прямой МС и плоскостью АВС.

Answer 1

МО_|_(ABC),МО=4,MA=MB=MC⇒OA=OB=OC=R-радиус описанной окружности
Треугольник АВС прямоугольный,значит тоска О -середина АВ
АС=ВС=8
2АО²=АС²
2АО²=64
АО²=32
АО=4√2
Треугольник МОС-прямоугольный
Угол между  прямой МС и плоскостью АВС-это <MCO
tg<MCO=MO/CO=4/4√2=1/√2
<MCO=arctg1/√2≈arctg0,707≈35гр 18мин

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойством перпендикулярности прямой и плоскости.

Поскольку точка М удалена от плоскости треугольника АВС на расстояние, равное 4, а также равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то точка М находится на перпендикуляре, опущенном из центра описанной окружности треугольника АВС.

Так как С - вершина прямоугольного треугольника АВС, то его центр описанной окружности находится на серединном перпендикуляре к гипотенузе АС.

Таким образом, прямая МС является перпендикуляром к плоскости АВС.

Угол между прямой МС и плоскостью АВС равен 90 градусов.