Question

Дан тетраэдр DABC. Медианы грани ABC пересекаются в точке M, N принадлежит DC, причем DN : NC = 5 : 1. Разлжите вектор MN по векторам AB = b, AC = c, AD = d

Answer 1

Дан тетраэдр DABC. Медианы грани ABC пересекаются в точке M, N принадлежит DC, причем DN : NC = 5 : 1. Разложите вектор MN по векторам AB = b, AC = c, AD = d

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство медиан треугольника, которое гласит, что медиана треугольника делит другую медиану в отношении 2:1.

Мы знаем, что точка N принадлежит отрезку DC, и что DN:NC = 5:1. Это означает, что DN составляет 5/6 от отрезка DC, а NC составляет 1/6 от отрезка DC.

Теперь давайте рассмотрим вектор MN. Мы хотим разложить его по векторам AB = b, AC = c и AD = d. Для этого мы можем использовать свойство разложения вектора по векторам, которое гласит, что вектор можно разложить по сумме других векторов.

Разложение вектора MN по векторам AB, AC и AD

Мы знаем, что MN = MC - NC, так как M - точка пересечения медиан грани ABC, а NC - медиана треугольника ABC.

Так как точка C является вершиной треугольника ABC, то вектор AC является вектором, направленным от вершины A к вершине C. Аналогично, вектор AB направлен от вершины A к вершине B, и вектор AD - от вершины A к вершине D.

Теперь мы можем разложить вектор MN по векторам AB, AC и AD следующим образом:

MN = MC - NC = (MA + AC/2) - NC = (MA - NC) + AC/2 = (MA - 1/6 * DC) + AC/2

Замена векторов AB, AC и AD

Мы также знаем, что AB = b, AC = c и AD = d. Подставляя эти значения в разложение вектора MN, получаем:

MN = (MA - 1/6 * DC) + AC/2 = (MA - 1/6 * DC) + c/2

Таким образом, вектор MN разлагается по векторам AB = b, AC = c и AD = d следующим образом:

MN = (MA - 1/6 * DC) + c/2 = (MA - 1/6 * AD - 1/6 * DC) + c/2 = (MA - 1/6 * (AD + DC)) + c/2 = (MA - 1/6 * AD - 1/6 * 6 * DN) + c/2

Так как DN = 5/6 * DC, мы можем заменить DN в разложении вектора MN:

MN = (MA - 1/6 * AD - 1/6 * 6 * DN) + c/2 = (MA - 1/6 * AD - 1/6 * 6 * 5/6 * DC) + c/2 = (MA - 1/6 * AD - 1/6 * 5/6 * 6 * DC) + c/2

Упрощая выражение, получаем:

MN = (MA - 1/6 * AD - 1/6 * 5/6 * 6 * DC) + c/2 = (MA - 1/6 * AD - 1/6 * 5/6 * 6 * AD) + c/2 = (MA - 1/6 * AD - 1/6 * 5/6 * AD) + c/2 = (MA - 1/6 * AD - 5/6 * 1/6 * AD) + c/2 = (MA - 1/6 * AD - 5/36 * AD) + c/2 = (MA - 11/36 * AD) + c/2

Таким образом, вектор MN разлагается по векторам AB = b, AC = c и AD = d следующим образом:

MN = (MA - 11/36 * AD) + c/2