Question

Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4 ,а радиус вписанной окружности равен 2см.Найдите радиус окружности,описанной около этого треугольника

Answer 1

A =3k , b=4k  ⇒|| гипотенуза || c =√(a² +b²) =√((3k)² +(4k)²) =5k ;
r =(a+b-c)/2 ;
2 =(3k+4k-5k)/2 ⇒k =2 ;
радиус окружности описанной около треугольника будет :
R =c/2 =5k/2 =5*2/2 =5 (см).

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать формулы, связанные с радиусами вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника.

Вписанная и описанная окружности прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике, вписанная окружность касается всех сторон треугольника, а описанная окружность проходит через вершины треугольника.

Формулы для радиусов окружностей

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника можно выразить по формуле: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] где \(a\) и \(b\) - катеты треугольника, \(c\) - гипотенуза, \(r\) - радиус вписанной окружности.

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника связан с длиной гипотенузы следующим образом: \[ R = \frac{c}{2} \] где \(R\) - радиус описанной окружности, \(c\) - гипотенуза.

Решение

У нас имеется информация о катетах прямоугольного треугольника и радиусе вписанной окружности. Мы можем использовать формулы, описанные выше, чтобы найти радиус описанной окружности.

Дано: Катеты относятся как 3:4 Радиус вписанной окружности \(r = 2\) см

Мы знаем, что катеты треугольника относятся как 3:4. Пусть \(3x\) будет длиной одного катета, а \(4x\) - длиной другого катета. Тогда гипотенуза будет равна \(5x\), так как это соотношение является тройкой Пифагора для прямоугольного треугольника.

Теперь можем использовать формулы, описанные выше, чтобы рассчитать радиус описанной окружности.

Для вписанной окружности: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] \[ 2 = \frac{3x + 4x - 5x}{2} \] \[ 2 = \frac{2x}{2} \] \[ 2 = x \]

Таким образом, мы нашли значение \(x\), которое равно 2. Теперь мы можем найти длину катетов и гипотенузы: Катет 1: \(3x = 3 \times 2 = 6\) см Катет 2: \(4x = 4 \times 2 = 8\) см Гипотенуза: \(5x = 5 \times 2 = 10\) см

Теперь, когда у нас есть длины катетов и гипотенузы, мы можем найти радиус описанной окружности: \[ R = \frac{c}{2} \] \[ R = \frac{10}{2} \] \[ R = 5 \]

Таким образом, радиус описанной окружности равен 5 см.