Question

В правильный треугольник со стороной а вписаны 3 окружности так чтобы каждая из них касалась друг друга и сторон треугольника. Найдите площадь криволинейного треугольника образованного точками касания трех окружностей.

Answer 1

Если рассмотреть построение получается, что в одну сторону треугольника вписываются по два радиуса этих окружностей и по две радиуса умноженных на корень(3) или
a = 2(r+r*корень(3)) 
или
r =  0.5*a/(1+корень(3))

Дело теперь на немногим - найти площадь просвета между касающимися окружностями. Очевидно он равен площади правильного треугольника Sт со стороной 2r за вычетом трех 60-градусных секторов круга с радиусом r Sо.

Площадь треугольника Sт = 0.5*2r*2r*корень(3)/2 = r*r*корень(3). Площадь трех секторов по 60 градусов - это половина площади круга Sо = п*r*r/2. То есть искомая площадь: S = Sт-Sо = r*r*корень(3) - п*r*r/2 = r*r*(корень(3) - п/2)

С учетом значения радиуса найденного выше:
S = 0.25*a*a*(корень(3) - п/2)/(1+корень(3))^2
или примерно 0.0054*a*a

Answer 2

Каждая из 3-х вписанных окружностей вписана в прямоугольный треугольник, на который делится высотами ( медианами и биссектрисами) исходный. Поскольку высоты из каждой вершины ∆ АВС равны, равны и вписанные в такие треугольники окружности. 

Сделаем рисунок и рассмотрим ∆ АСН.

Формула радиуса  вписанной в прямоугольный треугольник окружности 

r=(a+b-c):2, где а и b– катеты, с - гипотенуза. 

Угол НАС=30°

Гипотенуза АС=а, противолежащий углу 30°.2 катет НС=а/2

АН=АС•sin60°=a√3/2

r=(a√3/2+a/2-a):2=(a√3-a):4=a(√3-1):4

Соединив центры окружностей, получим правильный треугольник, стороны которого равны 2r. Каждый угол этого треугольника отсекает от окружностей по сектору с углом 60°. Всего таких секторов 3, площадь каждого равна 1/6 площади круга, значит, их общая площадь равна  3/6=1/2 площади круга.  

Искомая площадь криволинейного треугольника равна разности между площадью ∆ ОО1О2 и 1/2 площади одного из  вписанных кругов. 

S ∆ ОО1О2 по формуле площади правильного треугольника 

S=(2r)²•√3/4=r²√3

S(кp)=πr²

Искомая площадь r²√3-πr²/2=r²•(2√3-π):2 

 Подставим в это выражение найденный выше r = a(√3-1):4

S =[a(√3-1):4]²•(2√3-π):2 =a²(4-2√3)•(2√3-π):32

S =[a(√3-1):4]²•(2√3-π):2 =a²•(2-√3)•(2√3-π):16

После  вычислений получим искомую площадь равной 0,05401 а²