Question

Докажите что если хорды окружности равноудалены от ее центра то они равны

Answer 1

Хорды АС и ВД , точка О центр проводим перпендикуляры из О на АС ОК и на ВД ОН

ОН=ОК поусловию равноудалены

проводим ОВ=ОД=ОА=ОС=радиус, Треугольник АОК=треугольнику ВОН по катету ОК=ОН, и гипотенузе ОВ=ОА, значит ВН=АК, а так как треугольники ОВД и ОАС равнобедренные то проведенные высоты=медиане ВН=НД=АК=КС, ВД=АС - хорды равны

Answer 2

Хорды окружности и их равноудаленность от центра

Если хорды окружности равноудалены от ее центра, то они равны. Давайте рассмотрим это утверждение подробнее.

Доказательство

Предположим, что у нас есть окружность с центром O и двумя хордами AB и CD, которые равноудалены от центра окружности. Нам нужно доказать, что AB = CD.

Для начала, давайте обратимся к геометрическим свойствам окружности. Известно, что радиус окружности является перпендикуляром к хорде, проходящим через ее середину. Также, если две хорды окружности пересекаются внутри окружности, то произведение отрезков этих хорд равно.

Теперь, если хорды AB и CD равноудалены от центра O, то их середины также равноудалены от O. Обозначим середины хорд как M и N соответственно.

Так как M и N равноудалены от O, то OM = ON. Также, по свойству радиуса, OM и ON являются перпендикулярами к хордам AB и CD соответственно.

Теперь рассмотрим треугольники OMA и OND. У них общая гипотенуза OM и равные катеты OA и OD (так как AB = CD). Поэтому треугольники OMA и OND равны по гипотенузе и катету (по стороне-стороне-стороне).

Из равенства треугольников OMA и OND следует, что углы OAM и ODN равны. Но так как OM и ON являются перпендикулярами к хордам AB и CD, то углы OAM и ODN являются углами, образованными хордами AB и CD соответственно.

Таким образом, у нас есть два треугольника OAM и ODN, которые равны по гипотенузе и катету, а также имеют равные углы, образованные хордами AB и CD. Следовательно, по признаку равенства треугольников, AB = CD.

Заключение

Таким образом, если хорды окружности равноудалены от ее центра, то они равны. Это доказывается с использованием геометрических свойств окружности и признака равенства треугольников.