Question

В равнобедренном прямоугольном треугольнике MOP на гипотенузе MP отмечена точка K. Известно,что < OKP в 4 раза больше,чем <MOK.Найдите ∆MOK

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства треугольников и знание о пропорциональности углов.

По условию известно, что угол OKP в 4 раза больше, чем угол MOK. Пусть угол MOK равен x градусов, тогда угол OKP будет равен 4x градусов.

Так как треугольник MOP является прямоугольным и равнобедренным, то углы MOP и MPO равны между собой. Пусть эти углы равны y градусов.

Также известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. Тогда мы можем записать уравнение:

x + 4x + y + y + 90 = 180

Упрощая это уравнение, мы получаем:

6x + 2y + 90 = 180

Вычитая 90 из обеих сторон, получаем:

6x + 2y = 90

Теперь мы можем использовать свойство равнобедренного треугольника, согласно которому основания равнобедренного треугольника равны между собой. То есть, длина MP равна длине MO. Обозначим эту длину как a.

Теперь мы можем использовать теорему синусов для нахождения длины OK. В треугольнике MOK у нас есть два известных угла MOK и OKP, и одна известная сторона MO (равная a). Таким образом, мы можем записать уравнение:

OK / sin(4x) = a / sin(x)

Решая это уравнение относительно OK, мы получаем:

OK = a * sin(4x) / sin(x)

Теперь мы можем найти площадь треугольника MOK, используя формулу для площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь ∆MOK = (1/2) * MO * OK * sin(x)

Подставляя значения MO = a и OK = a * sin(4x) / sin(x), мы получаем:

Площадь ∆MOK = (1/2) * a * (a * sin(4x) / sin(x)) * sin(x)

Упрощая это выражение, мы получаем:

Площадь ∆MOK = (1/2) * a^2 * sin(4x)

Таким образом, площадь треугольника MOK равна (1/2) * a^2 * sin(4x).