Question

Докажите, что любая пара вписанных углов, опирающаяся на одну и ту же хорду, в сумме составляет 180°, если их вершины лежат по разные стороны от хорды.

Answer 1

Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. 

Угол АВС равен половине градусной меры дуги АДС. 

Угол АДС равен половине градусной меры дуги АВС. 

Сумма градусной меры дуг АВС+АДС, стягиваемых одной хордой, равна 360°, следовательно, сумма величин вписанных углов, опирающихся на одну и ту же хорду с вершинами по разные от нее стороны, равна 360°:2=180°

Answer 2

Если ты проведешь два угла, опирающиеся на одну и ту же хорду, то увидишь: образуется четырехугольник. Этот четырехугольник вписан в данную окружность, а это значит, что сумма противолежащих углов этого четырехугольника равна 180 градусов. Запомни на будущее).

Answer 3

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим вписанный угол и его дополнительный угол.

Пусть AOB - вписанный угол, где точка O - центр окружности, а точки A и B - точки пересечения угла с окружностью. Пусть точка C - точка пересечения хорды AB с окружностью.

Теперь рассмотрим дополнительный угол COB. Поскольку угол AOB вписанный, то угол COB также вписанный, и его вершина лежит на той же окружности. Таким образом, угол AOB и угол COB - это пара вписанных углов, опирающаяся на одну и ту же хорду AB.

Теперь докажем, что сумма углов AOB и COB составляет 180°. Поскольку угол AOB и угол COB - это дополнительные углы по отношению к прямой, проходящей через точку O, то сумма этих углов равна 180° по свойству дополнительных углов.

Таким образом, мы доказали, что любая пара вписанных углов, опирающаяся на одну и ту же хорду, в сумме составляет 180°, если их вершины лежат по разные стороны от хорды.