Question

В треугольнике АВС точка к делит сторону АВ в отношении АК:КВ=1:2, а точка Р делит сторону ВС в отношении СР:РВ=2:1. Прямые АР и СК пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника ВМС=4

Answer 1

Провести KT||AP (T ∈ BC) 
PT/BP = 1/3 (△KBT ∾ △ABP) 
PC/BP = 2/1 
BP = PC/2 
PT/(PC/2) = 1/3 
PT/PC = 1/6 = MK/MC (△MPC ∾ △KBC) 
S(KBM)/S(BMC) = MK/MC = 1/6 
S(KBC) = S(BMC) + S(KBM) = S(BMC) + S(BMC)/6 = 4 + 4/6 
S(KBC)/S(AKC) = BK/AK = 2/1 
S(AKC) = S(BKC)/2 = (4 + 4/6)/2 
S(ABC) = (4 + 4/6) + (4 + 4/6)/2 = 7

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать метод подобия треугольников и формулу для нахождения площади треугольника.

Нахождение координат точек

Для начала, найдем координаты точек \(A\), \(B\) и \(C\), а также координаты точки \(M\).

Точка \(K\) делит сторону \(AB\) в отношении \(AK:KB = 1:2\), поэтому координаты точки \(K\) можно найти как: \[ K = \left( \frac{2x_B + x_A}{3}, \frac{2y_B + y_A}{3} \right) \]

Аналогично, точка \(P\) делит сторону \(BC\) в отношении \(CR:RB = 2:1\), поэтому координаты точки \(P\) можно найти как: \[ P = \left( \frac{x_C + 2x_B}{3}, \frac{y_C + 2y_B}{3} \right) \]

Теперь, найдем уравнения прямых \(AR\) и \(CK\), чтобы найти их точку пересечения \(M\).

Нахождение точки пересечения

Уравнение прямой \(AR\) задается уравнением прямой, проходящей через точки \(A\) и \(R\): \[ y - y_A = \frac{y_R - y_A}{x_R - x_A} \cdot (x - x_A) \]

Уравнение прямой \(CK\) задается уравнением прямой, проходящей через точки \(C\) и \(K\): \[ y - y_C = \frac{y_K - y_C}{x_K - x_C} \cdot (x - x_C) \]

Решив систему уравнений, мы найдем координаты точки \(M\).

Нахождение площади треугольника

После того, как мы найдем координаты точки \(M\), мы можем найти площадь треугольника \(ABC\) используя формулу площади треугольника через координаты вершин.

Площадь треугольника \(ABC\) равна половине модуля векторного произведения \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\): \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} | \]

Решение уравнений

Давайте начнем с нахождения координат точек \(A\), \(B\), и \(C\), а также координаты точки \(M\), чтобы затем перейти к нахождению площади треугольника \(ABC\).