Question

В выпуклом четырехугольнике АВСD АВ=9 см, ВС =8 см, CD = 16 см, AD = 6 см, ВD = 12 см. Докажите, что ABCD трапеция

Answer 1

Два треугольника - ABD и BCD подобны, их стороны 6,9,12 и 8,12,16 пропорциональны( 6/8 = 9/12 = 12/16, 3/4 = 3/4 = 3/4). Поэтому угол ABD лежащий против стороны AD = 6 в треугольнике ABD, ревен углу BDC, лежащему напротив стороны ВС = 8 в треугольнике BDC -  накрест лежащие углы при прямых AB и CD, и секущей BD. 
Значит AB II CD.

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является трапецией, мы должны показать, что он имеет хотя бы одну пару параллельных сторон.

Для начала, давайте рассмотрим стороны AB и CD. Мы знаем, что AB = 9 см и CD = 16 см. Если мы хотим, чтобы эти стороны были параллельными, необходимо, чтобы прямые, на которых они лежат, были параллельными. Однако, на данный момент у нас нет информации о взаимном положении этих прямых.

Теперь рассмотрим стороны BC и AD. Мы знаем, что BC = 8 см и AD = 6 см. Опять же, чтобы эти стороны были параллельными, необходимо, чтобы прямые, на которых они лежат, были параллельными. Но на данный момент мы не можем сделать вывод о параллельности этих прямых.

Однако у нас есть дополнительная информация о стороне BD. Мы знаем, что BD = 12 см. Если четырехугольник ABCD является трапецией, то стороны AD и BC должны быть параллельными. Это означает, что прямые, на которых они лежат, также должны быть параллельными.

Мы можем рассмотреть треугольники ABD и BCD. В этих треугольниках сторона BD является общей стороной. Если стороны AD и BC параллельны, а сторона BD общая, то углы ABD и BCD должны быть смежными углами.

Так как сумма смежных углов в треугольнике равна 180 градусам, мы можем провести следующее доказательство. Предположим, что угол ABD и угол BCD не являются смежными. Тогда сумма этих углов не равна 180 градусам. Это противоречит свойству треугольника, и поэтому предположение, что угол ABD и угол BCD не являются смежными, неверно. Значит, углы ABD и BCD являются смежными.

Таким образом, мы доказали, что стороны AD и BC параллельны, и углы ABD и BCD являются смежными. Следовательно, четырехугольник ABCD является трапецией.