Question

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 6, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 2 корня из 11. Найдите сторону основания (ответ 3)

Answer 1

Пирамида SАВС: боковые ребра SА=SВ=SС=6, ΔАВС в основании (АВ=ВС=АС=а), вершина S проецируется в центр основания О (центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан).
Опустим из вершины S перпендикуляр к стороне АС - это высота бок.грани SН, а также из вершины В - к стороне АС - это высота основания ВН. Получился угол SНВ, по условию tg SHB=2√11.
ОН - это есть радиус вписанной окружности ОН=а/2√3.
ОА - это есть радиус описанной окружности ОА=а/√3
Из прямоугольного ΔSОН найдем SО=ОН*tg SHB=а/2√3 * 2√11=а*√11/3
Из прямоугольного ΔSОА найдем SО=√(SA²-OA²)=√(36-a²/3)=√(108-a²)/3
Приравняем:
а*√11/3=√(108-a²)/3
11а²/3=(108-а²)/3
12а²=108
а²=9
а=3
Ответ :3

Answer 2

Для начала определим высоту треугольной пирамиды. Поскольку тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 2 корня из 11, то можно записать уравнение: tan(угол) = высота / половина бокового ребра 2*√11 = h / 3 h = 6*√11

Теперь найдем сторону основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной бокового ребра, высотой и половиной стороны основания. Мы знаем, что тангенс угла равен противоположему катету (высота) деленному на прилегающий катет (половина стороны основания): tan(угол) = высота / (1/2 * сторона основания) 2*√11 = 6*√11 / (1/2 * сторона основания) сторона основ