Question

Около трапеции ABCD с основаниями AD и BC описана окружность радиуса 5. Центр описанной окружности лежит на основании AD. Основание BC равно 6. Найдите диагональ AC трапеции.

Answer 1

Опустим перпендикуляры (они же высоты) BK и CL на большее основание AD. Т. к. по свойству описать окружность можно только около равнобедренной трапеции, то проекции AK и LD ее боковых сторон на основание равны (проекции - это катеты двух образующихся прямоугольных треугольников, лежащие на основании AD). Т. к. центр описанной окружности O лежит на основании AD, то значит AD - диаметр, и равен AD=D=2R=2*5=10. Тогда AK=LD=(10-6)/2=4/2=2.

Опустим в равнобедренном (т. к. BO=CO=R) высоту OH, она же медиана. Значит в прямоугольном треугольнике BHO гипотенуза равна 5, а один из катетов равен 6/2=3. Тогда по теореме Пифагора второй катет (искомая высота) будет равен √(25-9)=√16=4. Т. к. это трапеция, то все высоты равны и CL=OH=4. В прямоугольном треугольнике  CLD гипотенуза CD равна √(4+16)=√20=2√5, значит  cosCDL=2/2√5=1/√5=√5/5.  Запишем теорему косинусов дла треугольника ACD: AC²= AD²+CD²-2*AD*CD*cosCDL

                                                                                                    AC²= 10²+(2√5)²-2*10*2√5*√5/5

                                                                                                    AC²= 100+20-2*10*2√5*√5/5

                                                                                                    AC²= 120-40=80

                                                                      cледовательно AC=√80=4√5

Ответ: 4√5

Answer 2

Task: Finding the diagonal AC of trapezoid ABCD

To find the length of diagonal AC of trapezoid ABCD, we can use the given information that the trapezoid is circumscribed by a circle with a radius of 5 units and that the center of the circumscribed circle lies on the base AD. Additionally, we are given that the length of base BC is 6 units.

Let's proceed with the solution.

Solution:

1. We know that in a trapezoid, the diagonals are equal in length. Therefore, diagonal AC is equal to diagonal BD.

2. To find the length of diagonal BD, we can use the formula for the length of a chord in a circle:

Length of chord = 2 * radius * sin(angle/2)

In this case, the length of chord BD is equal to 2 * 5 * sin(angle/2).

3. To find the angle, we can use the fact that the center of the circumscribed circle lies on the base AD. This means that angle BAD is a right angle, and angle BCD is also a right angle.

4. Since angle BAD is a right angle, we can use the Pythagorean theorem to find the length of side AB:

AB^2 = AD^2 - BD^2

Substituting the given values, we have:

AB^2 = (AD - BD)^2 - BD^2

Simplifying further:

AB^2 = AD^2 - 2 * AD * BD

5. Since angle BCD is a right angle, we can use the Pythagorean theorem to find the length of side CD:

CD^2 = BC^2 - BD^2

Substituting the given values, we have:

CD^2 = BC^2 - BD^2

Simplifying further:

CD^2 = 6^2 - BD^2

6. Since the trapezoid is isosceles (AB = CD), we can equate the expressions for AB^2 and CD^2:

AD^2 - 2 * AD * BD = 6^2 - BD^2

7. Rearranging the equation, we get:

AD^2 + BD^2 - 2 * AD * BD = 36

8. We know that diagonal BD is equal to 2 * 5 * sin(angle/2). Substituting this value, we have:

AD^2 + (2 * 5 * sin(angle/2))^2 - 2 * AD * (2 * 5 * sin(angle/2)) = 36

9. Simplifying further, we get:

AD^2 + 100 * sin^2(angle/2) - 20 * AD * sin(angle/2) = 36

10. Since the center of the circumscribed circle lies on the base AD, we can assume that angle BAD is a right angle. Therefore, sin(angle/2) can be calculated as:

sin(angle/2) = BC / (2 * radius)

Substituting the given values, we have:

sin(angle/2) = 6 / (2 * 5)

11. Substituting the value of sin(angle/2) into the equation, we have:

AD^2 + 100 * (6 / (2 * 5))^2 - 20 * AD * (6 / (2 * 5)) = 36

12. Simplifying further, we get:

AD^2 + 100 * (36 / 100) - 20 * AD * (6 / 10) = 36

13. Simplifying the equation, we have:

AD^2 + 36 - 12 * AD = 36

14. Rearranging the equation, we get:

AD^2 - 12 * AD = 0

15. Factoring out AD, we have:

AD * (AD - 12) = 0

16. Therefore, AD = 0 or AD - 12 = 0. Since AD cannot be 0, we have:

AD = 12

17. Now that we have the value of AD, we can substitute it back into the equation for diagonal BD:

BD = 2 * 5 * sin(angle/2)

BD = 2 * 5 * (6 / (2 * 5))

BD = 6

18. Since diagonal AC is equal to diagonal BD, we have:

AC = BD = 6

Answer:

The length of the diagonal AC of trapezoid ABCD is 6 units.