Question

Оівновіддалена від катетів точка гіпотенузи прямокутного трикутника ділить її на відрізки завдовжки 30см і 40см. Знайдіть катети трикутника.

Answer 1

Равноудаленная от катетов точка на гипотенузе делит её на отрезки длиной 30 см и 40 см. Найдите катеты треугольника. 
----
Обозначим треугольник АВС, С=90°, точку на гипотенузе К.  Так как точка равноудалена от катетов, расстояние от неё до них равно длине равных отрезков, проведенных к катетам перпендикуляров: КМ до ВС, КН до АС.

Все углы  четырехугольника МКНС, вписанного в прямоугольный треугольник АВС –  прямые, две стороны равны по условию, две другие им параллельны и противолежат,  поэтому он – квадрат. 

Его диагональ СМ для прямого угла С является биссектрисой. 

Биссектриса  угла треугольника делит противолежащую этому угла сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. ⇒

ВС:АС=ВК:АК. 

Обозначим АС=х, ВС=у. ⇒

у:х=30:40 ⇒ у:х=3:4 ⇒ 

у=3х/4

АВ=30+40=7•10

По т.Пифагора 

АВ²=АС²+ВС²=х²+у²  Заменим у на его значение, выраженное через х: 

7²•10²=х²+ 9х²/16

7²•10²=25x²/16

25x²=49•100•16

x²=49•4•16 ⇒x=7•2•4=56 см – длина АС

 ВС=3•56/4=42 см

Answer 2

В данному случае, у нас есть прямоугольный треугольник, в котором точка на гипотенузе делит ее на два отрезка длиной 30 см и 40 см. Мы можем использовать теорему Пифагора и пропорции для нахождения длин катетов треугольника.

Используем теорему Пифагора:

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, мы можем записать уравнение: a^2 + b^2 = c^2, где a и b - катеты треугольника, а c - гипотенуза.

Используем пропорции:

Мы знаем, что точка на гипотенузе делит ее на два отрезка длиной 30 см и 40 см. Пусть x - длина первого отрезка, а y - длина второго отрезка. Тогда мы можем записать пропорцию: x/y = 30/40.

Решение:

Для решения задачи, мы можем использовать пропорцию для нахождения отношения между длинами отрезков на гипотенузе. Затем, используя теорему Пифагора, мы можем найти значения катетов треугольника.

1. Решим пропорцию: x/y = 30/40 Умножим обе части на 40: 40x = 30y Разделим обе части на 30: (40/30)x = y Упростим: (4/3)x = y

2. Подставим значение y в уравнение теоремы Пифагора: a^2 + b^2 = c^2 a^2 + ((4/3)x)^2 = c^2 a^2 + (16/9)x^2 = c^2

3. Подставим значения длин отрезков в уравнение: a^2 + (16/9)x^2 = (30+40)^2 a^2 + (16/9)x^2 = 70^2 a^2 + (16/9)x^2 = 4900

4. Мы имеем уравнение с двумя неизвестными. Однако, мы знаем, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Поэтому, мы можем использовать это уравнение для нахождения значения x.

5. Решим уравнение: a^2 + (16/9)x^2 = 4900 (16/9)x^2 = 4900 - a^2 x^2 = (9/16)(4900 - a^2) x = sqrt((9/16)(4900 - a^2))

6. Теперь, мы можем подставить значение x в пропорцию для нахождения значения y: (4/3)x = y (4/3)sqrt((9/16)(4900 - a^2)) = y

7. Таким образом, мы получили выражения для длин катетов треугольника: a и b - катеты треугольника, x = sqrt((9/16)(4900 - a^2)) - длина первого отрезка на гипотенузе, y = (4/3)sqrt((9/16)(4900 - a^2)) - длина второго отрезка на гипотенузе.

Пожалуйста, обратите внимание, что я предоставил математическое решение задачи. Вы можете использовать эти выражения для нахождения значений катетов треугольника, подставляя различные значения для a.