Question

В трапеции ОРКТ с основаниями ОР и КТ диагонали пересекаются в точке М. Площадь ОРМ равна 72, площадь КТМ равна 50. Найти площадь трапеции.

Answer 1

ΔОМР подобен ΔКМТ по двум углам (∠МОР = ∠МКТ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ОР и ТК секущей ОК, углы при вершине М равны как вертикальные).
S₁ : S₂ = (OM : MK)²
72 : 50 = (OM : MK)²
36 : 25 = (OM : MK)²
OM : MK = 6 : 5

На рисунке внизу доказывается, что если треугольники имеют общую высоту, то их площади относятся, как стороны, к которым проведена высота.
ΔОМТ и ΔТМК имеют общую высоту, значит
S₃ : S₂ = OM : MK = 6 : 5
S₃ = 6 · S₂ / 5 = 6 · 50 / 5 = 60

В любой трапеции площади треугольников, образованных боковыми сторонами и диагоналями равны (зеленые треугольники):
S₄ = S₃ = 60

Sopkt = S₁ + S₂ + S₃ + S₄ = 72 + 50 + 60 + 60 = 242

Answer 2

Finding the Area of a Trapezoid

To find the area of a trapezoid, we can use the formula: Area = (1/2) * (sum of the lengths of the parallel sides) * (distance between the parallel sides).

Given Information

- The trapezoid has bases OR and KT. - The diagonals intersect at point M. - The area of triangle ORM is 72. - The area of triangle KTM is 50.

Solution

1. Finding the Length of the Diagonals - We can use the given areas of the triangles to find the lengths of the diagonals. - The area of a triangle can be calculated using the formula: Area = (1/2) * base * height.

2. Calculating the Area of the Trapezoid - Once we have the lengths of the diagonals, we can use the trapezoid area formula to find the area of the trapezoid.

Let's proceed with finding the lengths of the diagonals and then calculating the area of the trapezoid.