Question

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями BC и AD . На стороне AB как на диаметре построена окружность с центром в точке O , касающаяся стороны CD и повторно пересекающая основание AD в точке H. Точка Q – середина стороны CD. Докажите, что OQDH – параллелограмм .Найти AD, если ВС=1 и ∠А=75°

Answer 1

Вот решение, задача сложная

Answer 2

Доказательство параллелограмма OQDH

Для того чтобы доказать, что OQDH является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны.

# Сторона QD параллельна стороне OH

Поскольку OQ является диаметром окружности с центром в точке O, то ∠OQD является прямым углом (90°). Также, поскольку окружность касается стороны CD в точке Q, то ∠CDQ также является прямым углом (90°). Из этого следует, что ∠OQD = ∠CDQ.

Также, поскольку OQ и CD являются радиусами окружности, они имеют одинаковую длину. Следовательно, треугольники OQD и CDQ являются равнобедренными, а значит, их боковые стороны параллельны. Таким образом, сторона QD параллельна стороне OH.

# Сторона QH параллельна стороне OD

Поскольку окружность повторно пересекает основание AD в точке H, то ∠HOD является прямым углом (90°). Также, поскольку окружность касается стороны CD в точке Q, то ∠CDQ также является прямым углом (90°). Из этого следует, что ∠HOD = ∠CDQ.

Также, поскольку OH и CD являются радиусами окружности, они имеют одинаковую длину. Следовательно, треугольники HOD и CDQ являются равнобедренными, а значит, их боковые стороны параллельны. Таким образом, сторона QH параллельна стороне OD.

# Заключение

Мы доказали, что сторона QD параллельна стороне OH и сторона QH параллельна стороне OD. Следовательно, OQDH является параллелограммом.

Нахождение длины AD

Для нахождения длины AD в трапеции ABCD, нам нужно использовать данные, что BC = 1 и ∠А = 75°.

# Используем теорему синусов в треугольнике ABC

В треугольнике ABC, мы знаем, что BC = 1 и ∠А = 75°. Чтобы найти длину AD, мы можем использовать теорему синусов.

Теорема синусов гласит, что отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла равно отношению длины любой другой стороны к синусу соответствующего угла.

В нашем случае, мы хотим найти длину AD, которая является противолежащей стороной к углу ∠А. Пусть x будет длиной стороны AD.

Тогда, по теореме синусов:

sin(75°) = x / 1

sin(75°) = x

x = sin(75°)

Таким образом, длина AD равна sin(75°).