Question

На гипотенузе ab прямоугольного треугольника ABC(угол С=90°) во вне построен квадрат, диагонали которого пересекаются в точке O. Прямая CO пересекает гипотенузу AB в точке K, OK=(5*корень из 5)/2 и CK=(3*корень из 5)/2. Найти стороны треугольника ABC.

Answer 1

Сумма углов O+C=180  градусов  (диагонали   квадрата перпендикулярны)
То   около 4   угольника ABCO  можно описать  окружность,таким   образом углы  OCA=ABO,как  опирающиеся на 1   дугу.
OCA=45 тк   диагональ квадрата делит его   углы  по 45.
Таким образом BO-бессектриса угла C. По  свойству бессектрисы даны доли отношений.(ax ,bx)
А по   свойству хорд получим: 3sqrt(5)/2*5sqrt(5)/2=ax*bx
x^2=75/4ab
Площадь треугольника ABC  равна сумме площадей треугольников бьющихся бессектрисой.
1/2ab=1/2a*3sqrt(5)/2 *sin45+1/2b*3sqrt(5)/2 *b*sin45
Откуда ab=3sqrt(10)/4 *(a+b)
Ну  и наконец по теореме пифагора:
a^2+b^2=(ax+bx)^2=(a+b)^2*x^2=(a+b)^2*75/4ab
то есть нужно решить систему:
ab=3sqrt(10)/4*(a+b)
(a^2+b^2)*4ab=75(a+b)^2
Ну конечно эту систему можно решить  но я этого  делать явно не хочу.
Существует   такая теорема -теорема Птолимея,которая  гласит что если 4 угольник   вписан в окружность,то  сумма произведений  противолежащих сторон равна произведению его диагоналей.
То  тк полудиагональ  равна c*sqrt(2)/2
То  выходит что:  a*c*sqrt(2)/2 +b*c*sqrt(2)/2=c*4sqrt(5)
a+b=4sqrt(10)
Ну  и еще 1 уравнение
ab=3sqrt(10)/4 *(a+b)
ab=3sqrt(10)*4sqrt(10)/4=30
a+b=4sqrt(10)
По  теореме обратной теореме виета a и b корни уравнения
x^2-4sqrt(10)*x+30=0
D=160-120=40=(2sqrt(10))^2
x=(4sqrt(10)+-2sqrt(10))/2
a=3sqrt(10)
b=sqrt(10)
c=sqrt(90+10)=10!!!
Может  в условии нужно искать гипотенузу а не  стороны треугольника :)
Ответ:3sqrt(10),sqrt(10),10

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора и свойства подобных треугольников.

Итак, пусть стороны прямоугольного треугольника ABC равны a, b, и c, где c - гипотенуза.

Так как CO - медиана квадрата, то она делит его пополам. Таким образом, OK = CK = (5*корень из 5)/2.

Теперь мы можем использовать свойства подобных треугольников. Так как треугольники COB и AOK подобны (по двум углам), мы можем записать:

CO/AK = CB/AO

Так как CO = OK + CK = (5*корень из 5)/2 + (3*корень из 5)/2 = 4*корень из 5, и AK = AB - BK = c - (5*корень из 5)/2, мы можем подставить эти значения:

4*корень из 5 / (c - (5*корень из 5)/2) = b / a

Также, мы знаем, что a^2 + b^2 = c^2 (по теореме Пифагора).

Теперь мы можем решить систему уравнений, чтобы найти значения a, b и c. Подставляя известные значения, мы получаем:

a = 5 b = 3 c = 5*корень из 5

Таким образом, стороны треугольника ABC равны a = 5, b = 3, и c = 5*корень из 5.