Question

Дано прямоугольный треугольник АВС, где АВ - гипотенуза, а АС и СВ - катеты. Известно, что высота CD, проведённая к гипотенузе, делит АВ на отрезки 12 и 3 см. Найти площадь и периметр треугольника АВС.

Answer 1

Обозначим высоту CK. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе - есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза высотой, то есть  CK = √( AK * BK) = √ 3 * 12 = 6 см
 Из прямоугольного треугольника ACK по теореме Пифагора:
AC² = 3² + 6² = 9 + 36 = 45;    AC = √45 = 3√5 см
Из прямоугольного треугольника ABC :
BC² = AB² - AC² = 225 - 45 = 180;    BC =√180 = 36√5 см
 P = 15 + 3√5 + 36√5 = 15 + 39√5 см

Answer 2

AD=12 см, BD=3 см, AB=AD+BD=15 (см)

△ABC~△ACD (∠С=∠CDA=90, ∠A - общий)
AB/AC=AC/AD <=> AC =√(AB*AD) =√(15*12) =6√5 (см)

△ABC~△CBD (∠С=∠CDB=90, ∠B - общий)
AB/BC=BC/BD <=> BC =√(AB*BD) =√(15*3) =3√5 (см)

S(ABC)= AC*BC =6√5 *3√5 =90 (см)
P(ABC)= AB+BC+AC =15 +3√5 +6√5 =15 +9√5 (см)