Question

Стороны параллелограмма равны 7 и 11, а косинус острого угла равен 7/11 Диагональ параллелограмма разбивает его на 2 треугольника. Найдите угол между этой диагональю и прямой, проходящей через центры окружностей, вписанных в эти треугольники.

Answer 1

Вся "трудность" тут в том, что диагональ делит параллелограмм на 2 прямоугольных треугольника - это потому, что для них просто выполняется теорема Пифагора. Ну, или, если хотите, проекция большей стороны на меньшую равна этой меньшей стороне:

11*(7/11) = 7;

То есть окружности вписаны в прямоугольные треугольники, "приставленные" друг к другу катетами. Пусть a - эта диагональ, перпендикулярная стороне b = 7 (точнее - обеим сторонам, равным 7), при этом сторона параллелограмма с = 11 играет роль гипотенузы в каждом из этих треугольников.

r = (a + b - c)/2; 

и линия, соединяющая центры обеих вписанных окружностей, проходит через середину катета (диагонали) а. Тангенс искомого угла между этой линией и этой диагональю (я обозначаю его α)

tg(α) = r/(a/2 - r) = a/(c - b) - 1 = √((c+ b)/(c - b)) - 1;

(я просто подставил выражение для r и a = √(c^2 - b^2) );

tg(α) = √((11+ 7)/(11 - 7)) - 1 = √(18/4) - 1 = (3/2)√2 - 1; это ответ.

 

Я считал, что речь идет о диагонали тупого угла. Между прочим, условие можно трактовать и так, что речь идет о диагонали острого угла. Уточняйте :)