Question

основанием пирамиды является треугольник со сторонами 10 см,8 см,6 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45. Найдите площадь полной поверхности пирамиды

Answer 1

Рисунок к задаче - во вложении.

SK, SM, SN - высоты (апофемы) боковых граней. SO - высота пирамиды.

Прям. тр-ки SOK, SOM, SON - равны, т.к. SO - общий катет и углы равны по условию.

Значит т. О - центр вписанной окр-ти для тр-ка АВС.

Тр-к АВС - прямоугольный, т.к. для него справедлива теорема Пифагора:

10² = 8² + 6²

Тогда его площадь:

S(ABC) = 6*8/2 = 24 cm²

С другой стороны:

S(ABC) = p*r, где р - полупериметр, а r - радиус вписанной окр-ти.

р = (10+8+6)/2 = 12 см.  r = 24/12 = 2 cm.

Теперь, например, из тр-ка SOM находим апофему:

SM = r/cos45 = r*√2 = 2√2 см.

Теперь находим полную пов-ть пирамиды, сложив площади четырех тр-ов:

Sполн = S(ABC) + S(SAB) + S(SAC) + S(SBC) = 24 + (10*2√2 + 8*2√2 + 6*2√2)/2 =

= 24(1+√2) cm²

Ответ: 24(1+√2) см².