Question

В квадрате ABCD со стороной 10 см точка M - середина CD, отрезки AC и BM пересекаются в точке N. Найдите площадь четырехугольника ANMD.

Answer 1

Квадрат АВСД (АВ=ВС=СД=АД=10) площадь Sавсд=10²=100
СМ=МД=СД/2=5
Диагональ АС = √(АВ²+ВС²)=√2*10²=10√2
Площадь прямоугольного ΔАВС Sавс=АВ*ВС/2=10*10/2=50
Площадь прямоугольного ΔВСМ Sвсм=СМ*ВС/2=5*10/2=25
ΔАВN и ΔCNM подобны по 3 углам (<BNA=<MNC как вертикальные, <BAN=<MCN=45° (диагональ АС - биссектриса угла квадрата) и  <АВN=<СМN=180-<BAN=<BNA).
Значит AN/NC=BN/NM=AB/CM=10/5=2
ΔАВN и ΔCВN имеют общую высоту из вершины В, поэтому их площади относятся как основания АN и NС
Saвn/Scвn=AN/NC=2
Saвn=2Scвn
Saвс=Saвn+Scвn=2Scвn+Scвn=3Scвn
Scвn=Sавс/3=50/3
Saвn=100/3
Площадь Sanмд=Sавсд-Saвn-Sвсм=100-100/3-25=75-100/3=125/3=41 2/3

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

У нас есть квадрат ABCD со стороной 10 см. Точка M - середина стороны CD. Проведены отрезки AC и BM, которые пересекаются в точке N. Нам нужно найти площадь четырехугольника ANMD.

1. Найдем точку M: Так как M - середина стороны CD, то M делит сторону CD пополам. Значит, MC = MD = 10 / 2 = 5 см.

2. Найдем точку N: Точка N - точка пересечения отрезков AC и BM. Поскольку AC - это диагональ квадрата, и она проходит через его центр, то N также является центром квадрата. Таким образом, точка N находится в середине AC и BM.

3. Разбиваем четырехугольник ANMD на два треугольника: ANM и NMD. Оба эти треугольника - это прямоугольные треугольники, так как AM и ND - это высоты четырехугольника, а MN - это их основание.

4. Находим площадь треугольников ANM и NMD. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \( \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \).

- Для треугольника ANM: \( \text{Площадь}_{ANM} = \frac{1}{2} \times AM \times MN \). - Для треугольника NMD: \( \text{Площадь}_{NMD} = \frac{1}{2} \times ND \times MN \).

5. Сложим площади треугольников, чтобы получить площадь четырехугольника ANMD: \[ \text{Площадь}_{ANMD} = \text{Площадь}_{ANM} + \text{Площадь}_{NMD} \].

Подставим значения и рассчитаем площадь.