Question

Стороны треугольника равны 6м 9м 14 м. Большая сторона подобного ему треугольника равна 70 м. Чему равна меньшая сторона этого треугольника? Найдите отношения площадей подобных треугольников

Answer 1

Коэффициент подобия равен 5 следовательно меньшая сторона равна 6*5 = 30 м
Отношение площадей равна (1/5)^2= 1/25

Answer 2

Давайте обозначим стороны данного треугольника через \(a\), \(b\) и \(c\), где \(a = 6 \ м\), \(b = 9 \ м\) и \(c = 14 \ м\). Известно, что \(c\) — наибольшая сторона.

Также у нас есть подобный треугольник, в котором большая сторона равна \(d = 70 \ м\). Обозначим меньшие стороны этого подобного треугольника через \(x\) и \(y\), где \(x\) — меньшая сторона.

Из свойства подобных треугольников мы можем записать следующие отношения длин сторон:

\[ \frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{d} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{6}{x} = \frac{9}{y} = \frac{14}{70} \]

Сократим дробь \(\frac{14}{70}\) на 14 и получим:

\[ \frac{6}{x} = \frac{9}{y} = \frac{1}{5} \]

Теперь решим систему уравнений. Для этого найдем \(x\) и \(y\).

1. Из уравнения \(\frac{6}{x} = \frac{1}{5}\) найдем \(x\):

\[ x = \frac{6}{\frac{1}{5}} = 30 \ м \]

2. Из уравнения \(\frac{9}{y} = \frac{1}{5}\) найдем \(y\):

\[ y = \frac{9}{\frac{1}{5}} = 45 \ м \]

Таким образом, меньшая сторона этого треугольника равна \(30 \ м\).

Теперь найдем отношения площадей подобных треугольников. Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона:

\[ S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} \]

где \(p\) - полупериметр треугольника (\(p = \frac{a+b+c}{2}\)). Для большего треугольника:

\[ p_{\text{большой}} = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 9 + 14}{2} = 14.5 \ м \]

\[ S_{\text{большой}} = \sqrt{14.5 \cdot (14.5 - 6) \cdot (14.5 - 9) \cdot (14.5 - 14)} \approx 42 \ м^2 \]

Аналогично для меньшего треугольника:

\[ p_{\text{малый}} = \frac{x + y + d}{2} = \frac{30 + 45 + 70}{2} = 72.5 \ м \]

\[ S_{\text{малый}} = \sqrt{72.5 \cdot (72.5 - 30) \cdot (72.5 - 45) \cdot (72.5 - 70)} \approx 450 \ м^2 \]

Отношение площадей будет:

\[ \frac{S_{\text{малый}}}{S_{\text{большой}}} = \frac{450}{42} \approx 10.71 \]

Таким образом, отношение площадей подобных треугольников равно примерно 10.71.