Question

Найти высоту прямоугольного треугольника из вершины прямого угла если она делит гипотенузу на отрезки 54 см и 6см

Answer 1

В данном случае высота будет являться средним геометрическим для проекций гипотенузы, т.е. высота равна √54*6 = √324 = 18.

Answer 2

Для нахождения высоты прямоугольного треугольника из вершины прямого угла, разделяющей гипотенузу на два отрезка, можно воспользоваться подобием треугольников. В данном случае, треугольники будут подобными, так как угол между высотой и гипотенузой в обоих случаях прямой.

Обозначим высоту треугольника через \( h \), длину одного отрезка гипотенузы через \( a \), а другого отрезка через \( b \).

Из условия задачи у нас есть два отрезка гипотенузы:

1. \( a = 54 \) см, 2. \( b = 6 \) см.

Теперь мы можем использовать подобие треугольников для нахождения \( h \).

Отношение длины высоты к длине отрезка гипотенузы равно отношению длины другого отрезка гипотенузы к длине всей гипотенузы. Математически это можно записать следующим образом:

\[ \frac{h}{a} = \frac{b}{c} \],

где \( c \) - длина всей гипотенузы.

Используя теорему Пифагора, можно выразить длину гипотенузы:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \].

Подставим известные значения:

\[ c = \sqrt{54^2 + 6^2} \], \[ c = \sqrt{2916 + 36} \], \[ c = \sqrt{2952} \], \[ c = 54\sqrt{2} \].

Теперь можем подставить \( c \) в исходное уравнение:

\[ \frac{h}{54} = \frac{6}{54\sqrt{2}} \].

Упростим выражение, умножив обе части на 54:

\[ h = \frac{6}{\sqrt{2}} \].

Чтобы избавиться от знаменателя с корнем, умножим и числитель, и знаменатель на \(\sqrt{2}\):

\[ h = \frac{6\sqrt{2}}{2} \].

Упростим:

\[ h = 3\sqrt{2} \].

Таким образом, высота прямоугольного треугольника из вершины прямого угла, разделяющей гипотенузу на отрезки 54 см и 6 см, равна \( 3\sqrt{2} \) см.