Question

Точка S рівновіддалена від сторін прямокутного трикутника, катет і гіпотенуза якого відповідно дорівнює 4 см та 5 см і віддалена від його площини на 11 см. Знайдіть відстань від точки S до сторін трикутника

Answer 1

Якщо точка S  рівновіддалена від сторін прямокутного трикутника, то проекція її на основу - це центр уписаного в трикутник кола.
Другий катет дорівнює √(5²-4²) = √(25-16) = √9 = 3 см.
Відстань від центра до сторін трикутника - це радіус уписаного в трикутник кола, який знаходиться так:
$r= \sqrt{ \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} }$
P = (3+4+5) / 2 = 6 cм
$r= \sqrt{ \frac{(6-3)(6-4)(6-5)}{6} } = \sqrt{ \frac{3*2*1}{6} } =1$.
Відстань від точки S до сторін трикутника - це гіпотенуза трикутника з катетами 11 та 1 см: SK = √(11²+1²) = √(121 + 1) = √122 = 11,04536 см.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використаємо теорему Піфагора, оскільки маємо прямокутний трикутник.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Тому, якщо катет дорівнює 4 см, а гіпотенуза 5 см, то другий катет можна знайти за формулою:

катет² = гіпотенуза² - перший катет² катет² = 5² - 4² катет² = 25 - 16 катет² = 9 катет = √9 катет = 3 см

Тепер застосуємо теорему Піфагора, щоб знайти відстань від точки s до сторін трикутника. За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику квадрат відстані від точки до сторони дорівнює різниці квадрату двох відстаней від точки до катетів. Оскільки точка s рівновіддалена від сторін трикутника, відстані від неї до кожного катета також будуть рівні. Тому можемо знайти відстань від точки s лише для одного катета і подвоїти її значення.

Відстань від точки s до катета (3 см) знайдемо за формулою:

відстань² = гіпотенуза² - катет² відстань² = 5² - 3² відстань² = 25 - 9 відстань² = 16 відстань = √16 відстань = 4 см

Тепер подвоїмо це значення, оскільки відстань від точки s до кожного катета є однаковою: 2 * 4 см = 8 см

Отже, відстань від точки s до сторін трикутника дорівнює 8 см.