Question

В правильный треугольник вписана окружность.в окружность вписан квадрат.сторона треугольника на корень из6 больше стороны квадрата.найти сторону треугольника

Answer 1

Пусть а-сторона треугольника, А-сторона квадрата. Для треугольника радиус окр=√3а/6, для квадрата =√2А/2, по условию А+√6=а √3а/6=√2(а-√6)/2 а/√3=а/√2-√3 а(1/√2-1/√3)=√3 а=3√2/(√3-√2)

Answer 2

Пусть сторона квадрата, вписанного в окружность, равна a. Тогда сторона треугольника равна a + √6.

Так как окружность вписана в правильный треугольник, то каждая сторона треугольника касается окружности в одной точке. Касательная к окружности в точке касания является перпендикуляром к радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому сторона квадрата, вписанного в окружность, является касательной к окружности и перпендикулярна радиусу.

Заметим, что радиус окружности является биссектрисой угла треугольника, в котором она лежит. В правильном треугольнике все углы равны 60 градусов, поэтому биссектриса делит угол на две равные части, то есть угол между радиусом и касательной составляет 30 градусов. Так как это прямоугольный треугольник, то угол между радиусом и стороной квадрата также равен 30 градусов.

Получаем прямоугольный треугольник, в котором противоположный катет равен a, а прилежащий катет равен a + √6.

Применим теорему Пифагора для этого треугольника:

(a + √6)^2 = a^2 + (√6)^2

a^2 + 2a√6 + 6 = a^2 + 6

2a√6 = 6 - a^2

4a^2 * 6 = (6 - a^2)^2

24a^2 = 36 - 12a^2 + a^4

a^4 - 36a^2 + 36 = 0

Теперь решим это уравнение относительно a^2:

Подставим a^2 = x:

x^2 - 36x + 36 = 0

(x - 6)(x - 6) = 0

x = 6

То есть a^2 = 6, откуда получаем a = √6.

Таким образом, сторона треугольника равна a + √6 = √6 + √6 = 2√6.