Question

В трапеции АВСД большое основания АД=28 СМ а боковые сторона АВ =13 см и СД=15 СМ.Когда продлили боковые стороны до пересечения в некоторой точке М то сторона ВС оказалась средней линией треугольника АМД.Найдите периметры трапеции АВСД и треуголька МВС

Answer 1

Средняя линия треугольника равна половине его основания

Answer 2

Давайте обозначим точку пересечения продленных боковых сторон трапеции за M. Тогда ВМ будет средней линией треугольника AMD.

Также обозначим отрезок MD через h (высота треугольника AMD), а отрезок BM через x.

Так как BC — продолжение BA, то AM = BM + x. Также, учитывая, что BC — продолжение CD, имеем MD = CD = 15 см.

Теперь рассмотрим треугольник BMD. Согласно свойству средней линии, BM = \(\frac{1}{2}\) BS, где BS — сумма боковых сторон треугольника. В нашем случае BS = BA + AD = 13 + 28 = 41 см. Таким образом, BM = \(\frac{1}{2} \times 41 = 20.5\) см.

Теперь мы можем найти AM: AM = BM + x = 20.5 + x.

С учетом этого, мы можем написать уравнение для AM:

\[AM = 20.5 + x.\]

Также, учитывая, что AM является средней линией треугольника AMD, имеем:

\[2 \times AM = AD.\]

Подставим значение AM:

\[2 \times (20.5 + x) = 28.\]

Решив это уравнение, найдем значение x:

\[41 + 2x = 28,\]

\[2x = 28 - 41,\]

\[2x = -13,\]

\[x = -\frac{13}{2}.\]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, мы делаем вывод, что M находится за пределами треугольника AMD. Однако, для наших расчетов, мы можем использовать абсолютное значение x: \(|x| = \frac{13}{2}\).

Теперь мы можем найти значение AM:

\[AM = 20.5 + |x| = 20.5 + \frac{13}{2} = 27.\]

Теперь, чтобы найти периметр трапеции ABCD, сложим длины всех ее сторон:

\[P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA = 13 + 41 + 15 + 28 = 97 \text{ см}.\]

Также, чтобы найти периметр треугольника BCD, сложим длины его сторон:

\[P_{BCD} = BC + CD + BD = 41 + 15 + 28 = 84 \text{ см}.\]

Таким образом, периметр трапеции ABCD равен 97 см, а периметр треугольника BCD равен 84 см.