Question

Докажите,что биссектрисы смежных углов пересекаются под углом 90º

Answer 1

Вместе смежные углы составляют 180°. Это углы с началом в одной точке, общей стороной и двумя другими, образующими развёрнутый угол - те самые 180°. А биссектриса - это линия, делящая угол пополам. Таким образом, биссектрисы смежных углов отсекают от них ровно половину 180° - а именно 90°, образуя собой угол в 90° (180-90) - прямой угол.

Answer 2

Биссектрисы смежных углов пересекаются под углом 90º. Давайте докажем это.

Доказательство:

Предположим, у нас есть два смежных угла, обозначим их как ∠ABC и ∠CBD. Пусть BD - биссектриса угла ∠ABC, а AD и CD - отрезки, которые пересекают BD.

Теперь рассмотрим треугольники ∆ABD и ∆CBD. Мы знаем, что BD является биссектрисой угла ∠ABC, поэтому угол ∠ABD равен углу ∠CBD. Также, по определению биссектрисы, отношение длин отрезков AD и CD равно отношению длин отрезков AB и BC.

Теперь давайте рассмотрим угол ∠ADB и угол ∠CDB. Мы знаем, что эти углы являются вертикальными углами, и вертикальные углы равны. Таким образом, ∠ADB = ∠CDB.

Итак, у нас есть два треугольника ∆ABD и ∆CBD, у которых две пары углов равны. По теореме о равенстве треугольников, эти треугольники равны.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ∆ABD. У нас есть два равных угла ∠ABD и ∠ADB, а также угол ∠ADB = ∠CDB. По свойству треугольника, сумма углов в треугольнике равна 180º. Таким образом, ∠ABD + ∠ADB + ∠CDB = 180º.

Подставим значения углов: ∠ABD + ∠ABD + ∠CDB = 180º. Упростим это уравнение: 2∠ABD + ∠CDB = 180º.

Теперь заметим, что ∠ABD и ∠CDB являются смежными углами, поэтому их сумма равна 180º. Таким образом, 2∠ABD + ∠CDB = 180º становится 2∠ABD + 2∠ABD = 180º.

Упростим это уравнение: 4∠ABD = 180º. Разделим обе части на 4: ∠ABD = 45º.

Таким образом, мы доказали, что угол ∠ABD равен 45º. А поскольку ∠ABD и ∠CBD являются вертикальными углами, то ∠CBD также равен 45º.

Итак, мы доказали, что биссектрисы смежных углов пересекаются под углом 90º.